题目
已知圆 的圆心坐标为 ，且该圆经过点 。
（1）求圆 的标准方程；
（2）直线 交圆 于 、 两点，若直线 、 的斜率之积为 ，求证：直线 过一个定点，并求出该定点坐标；
（3）直线 交圆 于 、 两点，若直线 、 的斜率之和为 ，求证：直线 的斜率是定值，并求出该定值。
参考解答
解析：
（1）设圆 的半径为 ，则
所以圆 的标准方程为
（2）先讨论直线 的斜率不存在的情形。设 ，则 、（），于是
即 。又 在圆上，故
两式联立得 ，即
若 ，则 与点 重合，直线 的斜率不存在，不合题意；若 ，则 ，矛盾。所以直线 的斜率一定存在。
设 ，代入圆 的方程得
整理得
设
由韦达定理
因为 ，所以 ，于是
代入韦达定理并通分：
展开分子得
由斜率之积为 得
整理得
分解为
若 ，则直线 过点 ，此时 、 中有一点与点 重合，相应的斜率不存在，不合题意，故 。于是
所以
即直线 恒过定点 。
（3）设 （，否则直线 与 重合，不合题意），代入圆 的方程：
对应的是点 ，故点 的横坐标为 ，代回得
把 换成 ，同理得
所以
即直线 的斜率是定值 。
答案：（1）；（2）直线 恒过定点 ；（3）直线 的斜率为定值 。