题目
已知焦点在 轴上的椭圆 ， 轴正半轴上点 ， 是 的右顶点.若 的中垂线 的斜率为 ， 与 交于 、 两点，若 为钝角，则椭圆 离心率的取值范围 __。
参考解答
解析：
设 ，，其中 。
由斜率公式
因为 的中垂线 的斜率为 ，所以
解得
于是 的中点为 ，直线 的方程为
即
令 ，得 。由于
点 在椭圆内部，因此直线 与椭圆 恒有两个交点，无需再验证判别式。
设 、 的坐标分别为
联立
整理得
由韦达定理
注意 ：在 中令 得 ，故 、 均为非零向量， 为钝角等价于
由点 、 都在 上，得
于是
所以
代入韦达定理：
因为 ，分母 ，所以 等价于
即 。结合 ，得
又椭圆离心率 满足
由 得
故
右端点取不到：当 时 ，即 ，不满足钝角；左端点 也取不到： 需 ，与 矛盾。
答案：