题目
已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 、，点 是 上第一象限内的一点， 与 到直线 的距离之比是 ，且 ，则 __。
参考解答
解析：
设点 的坐标为
第一步：由第二定义读出离心率
由点 在椭圆上，得
展开并利用 ：
而
两式右边相同，故
因为 ，所以
已知该比值为 ，于是
第二步：不妨取 ，
离心率确定后，椭圆之间只差一个相似变换，而相似变换不改变角度与同一直线上线段之比，故可设
第三步：把角的条件翻译成斜率
记 、 分别为直线 、 的斜率，则
由椭圆的第三定义，
由 及二倍角公式，
由斜率之积为 ，可得
将其代入上式，得
又 ，故
（此时 ，二倍角公式有效。）
第四步：求长度之比
设 。在 中，由正弦定理
由 得
所以
补充说明：由 可回代求出
代入 成立；且函数 在 上单调递增（由 增到 ），故第一象限内的解存在且唯一。
答案：