由题意可设二次函数的解析式为: $y=ax(x\pm 4)-3=ax^2\pm 4ax-3$, 设抛物线与$x$ 轴的交
点为$(x_1,0),(x_2,0)$, 由韦达定理得$x_1+x_2=\pm 4, x_1x_2=-\frac{3}{a}$,根据$|x_1-x_2|=2$ 得
\[
\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\Rightarrow a^2+a=0\Rightarrow a=-1
\]
所以原二次函数的表达式为: $y=-x^2+4x-3$ 或$y=-x^2-4x-3$.

设$A(a,b)$ 是抛物线上一点, 则$A$ 关于原点对称的点$B(-a,-b)$, 由$A,B$ 均在抛物线上
\[
\left\{\begin{array}{lr} b=2a^2+4a+2 \\ -b=2a^2-4a-2 \end{array}\right.
\]
两式相减得$b=4a$, 所以得$a=\pm 1$.
所以$A,B$ 两点得坐标为$(1,4)$ 或$(-1,-4)$.

(1) 由$3x^2+2x-1=0\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0\Rightarrow x_1=-1, x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 当$a=b=1$ 时, 抛物线为$y=3x^2+2x+c$, 此时对称轴$x=-\frac{1}{3}$, 要抛物线在$-1\lt x\lt 1$
范围内与$x$ 轴只有一个公共点, 则下列两种情况满足要求
(a) $\Delta=0\Rightarrow 4-12c=0\Rightarrow c=\frac{1}{3}$.
(b) 抛物线在$x=-1$ 时的函数值小于$0$, 且在 $x=1$ 时的函数值大于$0$.
即$3-2+c\lt 0\Rightarrow c\lt -1$; 且 $3+2+c\gt 0\Rightarrow c\gt -5$.
综上当$-5\lt c\lt -1$ 或$c=\frac{1}{3}$ 时, 满足要求.
(3)由题意知:
\[
\left\{\begin{array}{lr} a+b+c=0 \\ c\gt 0 \\ 3a+2b+c>0 \end{array}\right.\Rightarrow a\gt c\gt 0
\]
因为对称轴方程为: $x=-\frac{b}{3a}=\frac{a+c}{3a}$, 所以$\frac{a}{3a}\lt \frac{a+c}{3a}\lt \frac{a+a}{3a}\Rightarrow \frac{1}{3}\lt \frac{a+c}{3a}\lt \frac{2}{3}$.
说明对称轴在$0$ 到$1$ 之间, 又顶点的纵坐标为
$y=\frac{12ac-4b^2}{12a}=\frac{3ac-b^2}{3a}=\frac{3ac-(a+c)^2}{3a}=-\frac{a^2-ac+c^2}{3a}$
因为$a^2-ac+c^2=(a-\frac{c}{2})^2+\frac{3c^2}{4}>0$, 即纵坐标$y\lt 0$, 所以有公共点.

(1) 由已知: $x_0=-\frac{b}{2a}$. 又$f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c=0$ 的两根为$x_1,x_2$.
由韦达定理知: $x_1+x_2=\frac{1-b}{a}$.
结合以上两式得:$x_0=\frac{1}{2}(x_1+x_2-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}(x_2-\frac{1}{a})\lt \frac{1}{2}x_1$.

(2) 记$g(x)=f(x)-x=$, 因为$g(x)=0$的两根为$x_1,x_2$, 所以$g(x)$ 的对称轴方程为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$
因为$\frac{x_1+x_2}{2}>x_1$, 因此当$0\lt x\lt x_0$时$g(x)$ 是递减函数,$g(x)>g(0)=0$, 即$f(x)>x$

由(1)知: $2x_0\lt x_1, x=x_0$ 为$f(x)$ 的对称轴, 于是$f(0)=f(2x_0)$.
若$x_0>0$, 则$f(x)$ 在$0\lt x\leq x_0$ 上递减, 在$x_0\lt x\lt x_1$ 上递增.
所以当$0\lt x\leq x_0$时, 有$f(x)\lt f(0)=f(2x_0)\lt f(x_1)=x_1$;
当$x_0\lt x\lt x_1$ 时, 有$f(x)\lt f(x_1)=x_1$.
若$x_0\lt 0$, 则$f(x)$ 在$0\lt x\lt x_1$上递增, 显然$f(x)\lt f(x_1)=x_1$.
综上, 对任意$0\lt x\lt x_1$, 均有$x\lt f(x)\lt x_1$ 成立.

设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2=ax^2-2ax+a-2$ 且$a>0$, 再设图象与$x$ 轴, $y$ 轴
的交点分别为$A(x_1,0),B(x_2,0),C(0,a-2)$.
(1) 由$|OC|^2=|OA|\cdot |OB|\Rightarrow (a-2)^2=|x_1x_2|=|\frac{a-2}{a}|\Rightarrow a^3-4a^2+4a=|a-2|$.
当$0\lt a\lt 2$ 时, 有$a^3-4a^2+5a-2=0\Rightarrow (a-1)^2(a-2)=0$
$\Rightarrow a_1=1$ 或$a_2=2$ (舍去).
由$a=1\Rightarrow y=x^2-2x-1$.

当$a>2$ 时, 有$a^3-4a^2+3a+2=0\Rightarrow (a-2)(a^2-2a-1)=0$
$\Rightarrow a_1=2$ (舍去), $a_2=1+\sqrt{2}, a_3=1-\sqrt{2}<0$(舍去)
故$a=1+\sqrt{2}$ 即$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$.

(2) 由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |OC|$, 有以下两种情况:
当$y=x^2-2x-1$ 时
$|AB|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}$, 又$|OC|=1$, 故$S_{\triangle ABC}=\sqrt{2}$.
当$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$ 时
$|AB|=2\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$, 又$|OC|=\sqrt{2}-1$, 所以$S_{\triangle ABC}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$

综上, 所求$\triangle ABC$ 的面积为$\sqrt{2}$ 或$(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$.

设$x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$ 的两根为$x_1,x_2$,
所以$\Delta =(2m-1)^2-4(m^2+3m+4)=-16m-15>0\Rightarrow m<-\frac{15}{16}$.
又由韦达定理$x_1+x_2=2m-1, x_1x_2=m^2+3m+4$, 所以
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m-1)^2-2(m^2+3m+4)=5\Rightarrow m^2-5m-6=0$.
解得$m=-1$ 或$m=6$ (舍去)

所以二次函数解析式为: $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\Rightarrow C(0,2),M(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$
易求得$CM$ 的直线方程为: $y=\frac{3}{2}x+2$.

(1) 代入点$(1,-5),(-2,4)$得方程组
\[
\left\{\begin{array}{lr} 1+b+c=-5 \\ 4-2b+c=4 \end{array}\right.\Rightarrow b=-2,c=-4
\]
所以$y=x^2-2x-4$.
(2)由$x^2-2x-4=x\Rightarrow x_1=-1,x_2=4\Rightarrow A(-1,-1),B(4,4)$, 根据题意得
$N(m,m), M(m,m^2-2m-4)\Rightarrow MN=m-(m^2-2m-4)=-m^2+3m+4$.
\[
S_{\triangle BOM}=S_{\triangle OMN}+S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}\times m\times
(-m^2+3m+4)+\frac{1}{2}\times (4-m)\times (-m^2+3m+4)=-2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{25}{2}
\]
所以当$m=\frac{3}{2}$ 时$S_{\triangle BOM}$ 取得最大值$\frac{25}{2}$.

由$f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$, 知道$3n\leq \frac{1}{2}\Rightarrow n\leq \frac{1}{6}$.
所以$n<1$, 所以当$m\leq x\leq n$ 时$f(x)$ 随$x$ 的增大而增大, 所以得
\[
\left\{\begin{array}{lr} f(n)=3n \\ f(m)=3m \end{array}\right.\Rightarrow m=-4, n=0
\]

二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+1$, 所以函数对称轴方程$x=1$, 当 $x=1$ 时取得最小值$y=1$.
由题意知当$x=m$ 时要有$y=m$, 即$\frac{1}{2}m^2-m+\frac{3}{2}=m\Rightarrow m^2-4m+3=0$
$\Rightarrow m=3$ 或$m=1$(舍去).所以存在 $m=3$ 满足要求.

以$D$ 为原点, $DC$ 所在直线为$x$ 轴, $DE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系, 所以
$A,B$ 的坐标分别为$A(2,4),B(4,3)$, 设$AB$ 所在的直线方程为$y=kx+b$, 代入$A,B$ 可解
得$k=-\frac{1}{2}, b=b$, 所以线段$AB$ 的解析式$y=-\frac{x}{2}+5 (2\leq x\leq 4)$
设$P(x,y)$. 所以$S=xy=x(5-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$, 当$x<5$
时$S$ 随$x$ 的增大而增大, 所以当$x=4$ 时$S$ 取得最大值$12$.