每日一题: 2020-08-09
题目: 在交通拥挤及事故多发地段, 为确保交通安全, 规定在此地段内, 车距$d$ 是车速$v$
(公里/小时)的平方与车身长$s$ (米)积的正比例函数, 且车距不得小于车身长的一半, 现假
设车速为$50$ 公里/小时的时候, 车距恰为车身长.
(1) 试写出$d$ 关于$v$ 的分段函数式(其中$s$ 为常数);
(2) 问车速多大时, 才能使此地段的车流量$Q=\frac{1000v}{d+s}$ 最大.
每日一题：2020-08-08
每日一题: 2020-08-09
题目: 在等腰直角$\triangle ABC$ 中, $AB=AC, \angle A=90^{\circ}$, $D,E$ 分别是
$AB,AC$ 上的点, $AD=\frac{2}{3}AB, AE=\frac{1}{3}AC$, 求证: $\angle ADE=\angle EBC$.
参考思路
思路一: 如图所示做辅助线, 使得$\triangle ADE\cong \triangle MBG\cong NGE$, 所以有$GB=GE, \angle BGE=90^{\circ}$. 所以$\angle GBE=45^{\circ}$, 即$\angle ADE=45^{\circ}-\angle ABE=\angle EBC$.  思路二: 设$M$ 为$BC$ 中点, 连结$AM$ 交$BE$ 于点$N$, 做$MF\parallel BE$ 交$AC$ 于$F$. 所以得$EF=FC=AE$. 因为$NE\parallel MF\Rightarrow AN=NM$, 因此有$BM=2NM$. 易得$\triangle EAD\backsim \triangle NMB\Rightarrow \angle ADE=\angle EBC$. 每日一题：2020-08-07
每日一题: 2020-08-07
题目: 在$\triangle ABC$ 中, $AM$ 是$BC$ 边的中线, $AD$ 是$\angle A$ 的平分线,
过$M$ 作$AD$ 的平行线, 分别交直线$AB,AC$ 于$E,F$.
求证: $BE=CF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.
参考思路
思路一: 分别过$C,F$ 作$EM,AC$ 的平行线, 交于点$G$, 连结$BG$, 延长$EM$ 交$BG$ 于$N$. 易得$FEGC$ 为平行四边形, $FN$ 平分$\angle BFG$, 因为$MN\parallel CG, M$ 为$BC$ 中 点, 所以$N$ 为$BG$ 中点, 可得$\triangle ENB\cong \triangle ENG\Rightarrow EB=EG=FC$. 又$AE=AF\Rightarrow AB-BF=FC-AC\Rightarrow BE=CF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.  思路二: 过$E$ 作$ET\parallel FC$ 交$BC$ 于点$T$. 因为$ET\parallel FC$, 所以$\frac{MT}{MC}=\frac{TE}{CF}$, 因为$EM$ 平分$\angle BET$, 所以$\frac{MT}{MB}=\frac{ET}{EB}$ 由$MB=MC\Rightarrow \frac{ET}{FC}=\frac{ET}{EB}\Rightarrow EB=FC$, 下同思路一.  思路三: 直线$MEF$ 截$\triangle ABC$ 应用梅涅劳斯定理得: $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CF}{FA}=1\Rightarrow CF=BE$
每日一题：2020-08-05
每日一题: 2020-08-05
题目: 已知: 过$\triangle ABC$ 重心$G$ 的直线分别交边$AB,AC$ 及$CB$ 延长线于点$E,F,D$.
求证: $\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=1$.
参考思路
连结$AG$ 并延长交$BC$ 于$M$, 则$BM=CM$. 由$DEG$ 截$\triangle ABM$ 及$DGF$ 截$\triangle ACM$ 应用梅涅劳斯定理得: $\frac{BE}{EA}\cdot \frac{AG}{GM}\cdot \frac{MD}{DB}=1$; $\frac{CF}{FA}\cdot \frac{AG}{GM}\cdot \frac{MD}{DC}=1$. $\therefore \frac{BE}{EA}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DB}{MD}$, $\frac{CF}{FA}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DC}{MD}$ 两式相加得: $$ \frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=\frac{GM(DB+DC)}{AG\cdot MD}=\frac{GM}{AG}\cdot \frac{DB+DC}{MD}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{1}=1 $$ 问题得证. 每日一题：2020-08-04
每日一题: 2020-08-04
题目: 设$P,Q,R$ 分别是$\triangle ABC$ 三边$BC,CA,AB$ 上或它们延长线上的三点, 并且
$P,Q,R$ 三点中, 位于$\triangle ABC$ 边上的点的个数为$0$ 或$2$, 这时若$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$.
求证: $P,Q,R$ 三点共线.
参考思路
设直线$PQ$ 与直线$AB$ 交于$R'$, 于是由梅涅劳斯定理得: $\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR'}{R'B}=1$. 又已知$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1\Rightarrow \frac{AR'}{R'B}=\frac{AR}{RB}\Rightarrow \frac{AR'}{AR'+R'B}=\frac{AR}{AR+RB}$. 所以有: $\frac{AR}{AB}=\frac{AR'}{AB}\Rightarrow AR=AR'$ 因为$P,Q,R$ 位于$\triangle ABC$ 边上的点的个数为$0$ 或$2$, 因此$R,R'$ 同在线段$AB$ 上, 或同在$AB$ 的延长线上, 无论哪种情况都有$R$ 与$R'$ 重合, 所以$P,Q,R$ 三点共线.每日一题：2020-08-03
每日一题: 2020-08-03
题目: 已知实数$a,b,c,d$ 互不相等, 且$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{a}=x$,
试求$x$ 的值.
参考思路
由已知有: $a+\frac{1}{b}=x,b+\frac{1}{c}=x,c+\frac{1}{d}=x,d+\frac{1}{a}=x$, 得 $b=\frac{1}{x-a}$ 代入$b+\frac{1}{c}=x\Rightarrow c=\frac{x-a}{x^2-ax+1}$ 代入 $c+\frac{1}{d}=x\Rightarrow \frac{x-a}{x^2-ax-1}+\frac{1}{d}=x$ 整理得: $dx^3-(ad+1)x^2-(2d-a)x+ad+1=0$, 再由$d+\frac{1}{a}=x\Rightarrow ad+1=ax$ 代入上式得: $(d-a)(x^3-2x)=0$, 因为$d\neq a$, 所以$ x^3-2x=0$, 若$x=0\Rightarrow a=c$矛盾! 故有: $x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$.每日一题：2020-08-02
每日一题: 2020-08-02
题目: 国际象棋比赛中, 共$8$ 名选手进行单循环比赛, 每赛一局胜者得$1$ 分, 负者得$0$
分, 平局各得$0.5$ 分, 赛完后, 发现各选手得分各不相同, 当选手得分由大到小排列了名次
后, 第$4$ 名选手得分$4.5$ 分, 第$2$ 名选手得分等于最后四名选手得分的总和, 前三名选
手各得几分? 请说明理由.
参考思路
$8$ 名选手共赛了$\frac{8\times 7}{2}=28$ 局, 共$28$ 分, 若前三名选手得分分别为$a_1,a_2,a_3$, 那么根据题意应有$a_1+a_2+a_3+4.5+a_2=28\Rightarrow a_1+2a_2+a_3=23.5$ 注意到每局得分只有$0,0.5,1$ 三中情况, 可见$2a_2$ 是整数, 所以$a_1,a_3$ 中一个是整 数, 另一个是小数, 由于得分最多是$7$ 分, 所以$7\geq a_1\gt a_2\gt a_3\gt 4.5$ 再由$a_1+2a_2+a_3=23.5\Rightarrow 4a_1\gt 23.5, 4a_3\lt 23.5\Rightarrow a_1\gt 5.875, a_3\lt 5.875$ 因此$7\geq a_1\geq 6, 6\gt a_3\geq 5\Rightarrow a_3=5$ 或$a_3=5.5$. 当$a_3=5$ 时, $a_1=6.5\Rightarrow 2a_2=12$,故$a_2=6$; 当$a_3=5.5$ 时, $a_1=7\Rightarrow 2a_2=11\Rightarrow a_2=5.5$ 与$a_3$ 相等, 不合题意. 综上所述, 前三名的得分分别是: $6.6$ 分, $6$ 分, $5$ 分.每日一题：2020-08-01
在直角坐标系中有三点$A(0,1),B(1,3),C(2,6)$, 已知直线$y=ax+b$ 上横坐标为$0,1,2$ 的
点分别为$D,E,F$, 试求$a,b$ 的值使得$AD^2+BE^2+CF^2$ 达到最小值.
参考思路
因为$D,E,F$ 的坐标分别为$D(0,b),E(1,a+b),F(2,2a+b)$, 所以 $ AD^2+BE^2+CF^2 =(b-1)^2+(a+b-3)^2+(2a+b-6)^2 \\ =5a^2+6ab+3b^2-30a-20b+46 =5a^2+(6b-30)a+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2-5(\frac{3}{5}b-3)^2+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}b^2-2b+1=5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}(b-\frac{5}{6})^2+\frac{1}{6} $ 所以当$a+\frac{3}{5}b-3=0$ 且$b-\frac{5}{6}=0$ 时, 上式取得最小值, 此时$a=\frac{5}{2}, b=\frac{5}{6}$, 最小值为$\frac{1}{6}$.每日一题：2020-07-31
每日一同: 2020-07-31
题目: 如图, 已知$D$ 是$\triangle ABC$ 内的一点, 直线$BD$ 与边$AC,CD$ 与边$AB$ 分别
交于点$E,F$, 满足$AF=FB=CD,CE=DE$. 求$\angle BFC$.
