每日一题: 2020-09-08
题目: 已知$f(x)=x^2+ax+3-a$, 若$-2\leq x\leq 2$ 时, $f(x)\geq 2$ 恒成立, 求实数$a$的范围.
每日一题：2020-09-07
每日一题: 2020-09-07
题目: 若对任意实数$x$, 关于$x$ 的不等式$(a^2-1)x^2-(a-1)x-1\lt 0$ 恒成立, 求实数$a$的取值范围.
参考思路
(1) 当$a^2-1=0$ 时, 则$a=\pm 1$. 当$a=1$ 时, 原不等式$-1\lt 0$, 满足题意; 当$a=-1$ 时, 原不等式$2x-1\lt 0\Rightarrow x\lt \frac{1}{2}$, 与题目不符. (2) 若$a\neq \pm 1$, 则有 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \Delta=(a-1)^2+4(a^2-1)\lt 0 \\\\ a^2-1\lt 0 \\end{array}\\right. \\] 解得: $-\frac{3}{5}\lt a\lt 1$. 综上, 实数$a$ 的取值范围是$-\frac{3}{5}\lt a\leq 1$.每日一题：2020-09-06
每日一题: 2020-09-06
阅读: 在数学语言中, 把一些对象放在一起考虑时, 就说这些对象组成了一个集合. 这些对象
中的每一个, 都叫作这个集合的一个元素. 例如, 若$S$ 是一个集合, $a$ 是$S$ 的一个元素
, 记作$a\in S$, 读作”$a$ 属于$S$ “. 集合其中一种表示方法是列举法, 将集合中的元素一
一列举出来, 用大括号括起来, 相邻元素用逗号分隔. 例如, 小于$10$ 的正偶数组成的集合,
用列举法可以表示为{$2,4,6,8$}.
题目: 设$A$ 是由一些实数构成的集合, 若$a\in A$, 则$\frac{1}{1-a}\in A$, 且$1\notin A$.
(1) 若$3\in A$, 求集合$A$;
(2) 证明: 若$a\in A$, 则$1-\frac{1}{a}\in A$;
(3) 集合$A$ 中能否只有一个元素? 若能, 求出集合$A$; 若不能, 说明理由.
参考思路
(1) 由$\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}; \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}; \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$ 所以$A$={$3,-\frac{1}{2},\frac{2}{3}$}. (2) 证明: $\because a\in A\Rightarrow \frac{1}{1-a}\in A\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=\frac{1-a}{-a}=1-\frac{1}{a}\in A$. (3) 如果集合$A$ 只有一个元素, 则有$a=\frac{1}{1-a}\Rightarrow a^2-a+1=0$. 此二次方 程$\Delta=-3<0$, 没有实数解. 所以不可能只有一个元素.每日一题：2020-09-05
每日一题: 2020-09-05
题目: 若方程$x^2-3x+1=0$ 的两根$\alpha,\beta$ 也是方程$x^6-px+q=0$ 的根, 其中$p,q$
均为整数, 试求$p,q$ 的值.
参考思路
由韦达定理: $\alpha+\beta+3, \alpha\beta=1\Rightarrow \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7$ $\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2=7^2-2=47$ 因为$\alpha,\beta$ 也是方程$x^6-px+q=0$ 的根, 则由 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \alpha^6-p\alpha^2+q=0 \\\\ \beta^6-p\beta^2+q=0 \\end{array}\\right. \\] 解得:$p=\frac{\alpha^6-\beta^6}{\alpha^2-\beta^2}=\alpha^4+\alpha^2\beta^2+\beta^4=48$ $q=\frac{\alpha^2\beta^2(\alpha^4-\beta^4)}{\alpha^2-\beta^2}=\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)=7$每日一题：2020-08-31
每日一题: 2020-08-31
题目: 有一袋糖果随意分给$10$ 个小孩, 每个小孩至少分到一块, 证明其中必有一些小孩所
得的糖果之和是$10$ 的倍数.
参考思路
我们证明一般的情况. 把一袋糖果分给$n$ 个小孩, 每个小孩至少分到一块, 则其中必有一些小孩所得的糖果之和是$n$ 的倍数. 设这$n$ 个小朋友分到的糖果数依次为: $a_1,a_2,\cdots,a_n$ (都是正整数). 考虑这些数中的部分和 $S_1=a_1, S_2=a_1+a_2, S_3=a_1+a_2+a_3,\cdots, S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 若$S_i(i=1,2,\ldots,n)$ 中有一个是$n$ 的倍数, 则本题得证. 若$S_i(i=1,2,\ldots,n)$ 中没有一个$n$ 的倍数, 则这$n$ 个数被$n$ 除的余数只有$1,2,\ldots, n-1$ 这$n-1 $种, 而$n$ 个数被$n$ 除, 必有两个对$n$ 同余, 设这两个数是$S_k, S_j (k>j)$, 则$S_k-S_j=(a_1+a_2+\ldots+a_j+a_{j+1}+\ldots+a_k)-(a_1+a_2+\ldots+a_j)$ $ =a_{j+1}+a_{j+2}+\ldots+a_n$ 这就是说, 第$j+1,j+2$, 一直到第$k$ 个小孩分到的糖果之和是$n$ 的倍数.每日一题：2020-08-30
每日一题: 2020-08-30
题目: 已知$k$ 和$l$ 都是正整数, 在形式$36^k-5^l$ 的数学中求绝对值最小的数, 并证明
所求的数确实最小.