由$f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$, 知道$3n\leq \frac{1}{2}\Rightarrow n\leq \frac{1}{6}$.
所以$n<1$, 所以当$m\leq x\leq n$ 时$f(x)$ 随$x$ 的增大而增大, 所以得
\[
\left\{\begin{array}{lr} f(n)=3n \\ f(m)=3m \end{array}\right.\Rightarrow m=-4, n=0
\]

二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+1$, 所以函数对称轴方程$x=1$, 当 $x=1$ 时取得最小值$y=1$.
由题意知当$x=m$ 时要有$y=m$, 即$\frac{1}{2}m^2-m+\frac{3}{2}=m\Rightarrow m^2-4m+3=0$
$\Rightarrow m=3$ 或$m=1$(舍去).所以存在 $m=3$ 满足要求.

以$D$ 为原点, $DC$ 所在直线为$x$ 轴, $DE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系, 所以
$A,B$ 的坐标分别为$A(2,4),B(4,3)$, 设$AB$ 所在的直线方程为$y=kx+b$, 代入$A,B$ 可解
得$k=-\frac{1}{2}, b=b$, 所以线段$AB$ 的解析式$y=-\frac{x}{2}+5 (2\leq x\leq 4)$
设$P(x,y)$. 所以$S=xy=x(5-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$, 当$x<5$
时$S$ 随$x$ 的增大而增大, 所以当$x=4$ 时$S$ 取得最大值$12$.

二次函数的对称轴方程为$x=\frac{1-2a}{2a}$. 函数最大值只可能在$x=-\frac{3}{2},x=2,x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得.
下面逐一检验.
(1) 若最大值$1$ 在$x=-\frac{3}{2}$ 取得, 由此解得$a=-\frac{10}{3}$, 但此时$\frac{1-2a}{2a}=-\frac{23}{20}$
在自变量的取值范围内, 故最大值应在$x=-\frac{23}{20}$ 取得. 所以这种情况不会出现.

(2) 若最大值$1$ 在$x=2$ 取得, 解得$a=\frac{3}{4}$, 此时对称轴为$x=-\frac{1}{3}$,而
$|2-(-\frac{1}{3})|>|-\frac{1}{3}-(-\frac{3}{2})|$, 故$y$ 在$x=2$ 处的值的确时函数
最大值, 即$a=\frac{3}{4}$ 是符合题意得一个解.

(3) 若最大值$1$ 在$x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得, 得$a=\frac{1}{2}(-3\pm 2\sqrt{2})$,
注意, 此时必须$a<0$ 且$-\frac{3}{2}\leq \frac{1-2a}{2a}\leq 2$, 易知只有$a=-\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})$
符合要求.

综上, 所求的解是$a=\frac{3}{4}$ 或$a=-\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

因为$y=-(x-a)^2+a^2$, 所以函数的对称轴方程为直线$x=a$.
(1) 若$0\lt a\leq \frac{1}{2}$, 函数在$x=a$ 时取得最大值$a^2$, 在$x=1$ 时取得最小值$2a-1$;

(2) 若$\frac{1}{2}\lt a\leq 1$ 时, 函数在$x=a$ 时取得最大值, 在$x=0$ 时取最小值$0$;

(3) 若$a\gt 1$ 时, 函数在$0\leq x\leq 1$ 范围内单调递增, 当$x=1$ 时取得最大值$2a-1$, 当$x=0$ 时取得最小值$0$.

分三种情况讨论.
(1) $0\leq a\lt b$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递减. 所以$f(a)=2b,f(b)=2a$.

\[
\left\{\begin{array}{lr} 2b=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\ 2a=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} a=1 \\ b=3 \end{array}\right.
\]

(2) $a\lt b\leq 0$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递增. 所以$f(a)=2a, f(b)=2b$.

\[
\left\{\begin{array}{lr} 2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\ 2b=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \end{array}\right.
\]
由于方程$\frac{x^2}{2}+2x-\frac{13}{2}=0$ 的两根异号, 所以满足条件的$(a,b)$ 不存在.

(3) $a\lt 0\lt b$, 此时$f(x)$ 在$x=0$ 处取最大值, 即$2b=f(0)=\frac{13}{2}\Rightarrow b=\frac{13}{4}$.
而$f(x)$ 在$x=a$ 或$x=b$ 处取最小值$2a$, 由于$a\lt 0, f(b)=-\frac{1}{2}(\frac{13}{4})^2+\frac{13}{2}=\frac{39}{32}>0$.
所以$f(a)=2a(a\lt 0)$ 即$2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2}$, 于是
\[
\left\{\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\ b=\frac{13}{4} \end{array}\right.
\]

综上:
\[
\left\{\begin{array}{lr} a=1 \\ b=3 \end{array}\right.或 \left\{\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\ b=\frac{13}{4} \end{array}\right.
\]

由题意知, 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 与坐标轴的交点坐标分别为$(0,c),(-\frac{b}{2a},0)$.
因为$a<0$, 抛物线开口向下, 顶点在$x$ 轴上, 所以抛物线与$y$ 轴交点的纵坐标$c<0$;
又已知对称轴$x=-\frac{b}{2a}$ 在$y$ 轴左侧, 故$-\frac{b}{2a}<0$, 得$b<0$, 于是可分
两种情况求解析式:
(a)
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=-2 \\ \frac{b}{2a}=3 \\ \Delta=b^2-4ac=0 \end{array}\right.\Rightarrow a=-\frac{2}{9}, b=-\frac{4}{3}, c=-2
\]
抛物线解析式为$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$.
(b)
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=-3 \\ \frac{b}{2a}=2 \\ \Delta=b^2-4ac=0 \end{array}\right.\Rightarrow a=-\frac{3}{4}, b=-3, c=-3
\]
抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$

(2) 先在坐标平面内分别画出两条抛物线的示意图, 不难发现: 当$x>-3$ 时$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$
随$x$ 增大而减小; 当$x>-2$ 时, $y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$ 随$x$ 增大而减小.

综上, 当$x>-2$ 时, 上述两个函数$y$ 均随$x$ 增大而减小.

因为$y=mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4$, 故当$x=0$ 时, $y=4$, 即$C(0,4)$.
当$y=0$ 时, 有$mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4=0$, 且$m\neq 0$, 解得$x_1=3, x_2=\frac{4}{3m}$.
即$A(3,0), B(\frac{4}{3m},0)$.
$\triangle ABC$ 是等腰三角形, 需要分三种情况讨论:
(1) 当$AC=BC$ 时, 有$\frac{4}{3m}=-3\Rightarrow m=-\frac{4}{9}$. 故$y=-\frac{4}{9}x^2+4$.

(2) 当$AC=AB$ 时, 因$AO=3, OC=4\Rightarrow AC=5$, 于是$|3-\frac{4}{3m}|=5\Rightarrow m_1=\frac{1}{6}, m_2=-\frac{2}{3}$.
即当$m=\frac{1}{6}$ 时, 有$y=\frac{1}{6}x^2-\frac{11}{6}x+4$,
当$m=-\frac{2}{3}$ 时, 有$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+4$

(3) 当$AB=BC$ 时, 有$|3-\frac{4}{3m}|=\sqrt{4^2+(\frac{4}{3m})^2}$得$m=-\frac{8}{7}$.
故$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{44}{21}x+4$

综上所述, 所求抛物线的解析式有:
$y=-\frac{4}{9}x^2+4$ 或$y=\frac{1}{6}x^2-\frac{11}{6}x+4$ 或$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+4$ 或$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{44}{21}x+4$

解设抛物线方程: $y=a(x+2)^2+c=ax^2+4ax+4a+c$.
因为与直线相切, 联立两方程
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=2x+1 \\ y=ax^2+4ax+4a+c \end{array}\right.
\]
消去$y$ 并整理得方程 $ax^2+(4a-2)x+4a+c-1=0$ 有两个相等实根
$\therefore \Delta_1 =(4a-2)^2-4a(4a+c-1)=0\Rightarrow ac=1-3a$.

又设方程$ax^2+4ax+4a+c=0$ 两实数根为$x_1,x_2\Rightarrow x_1+x_2=-4, x_1x_2=\frac{4a+c}{a}$
\[
|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{-4c}{a}}=2\sqrt{2}
\]
可得$ac=-2a^2=1-3a\Rightarrow 2a^2-3a+1=0\Rightarrow a_1=1,a_2=\frac{1}{2}$.
当$a=1$ 时, $c=-2a=-2$, 解析式为: $y=x^2+4x+2$;
当$a=\frac{1}{2}$ 时, $c=-2a=-1$, 解析式为: $y=\frac{1}{2}x^2+2x+1$.
经检验上式两个均满足要求.

由$f(0)=-2,f(1)=-1$ 可得
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=2 \\ a+b+c=-1 \end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{lr} c=2 \\ b=-(a+3) \end{array}\right.
\]
因此, 二次函数是: $y=ax^2-(a+3)x+2$
二次函数的图象在$x$ 轴所截得线段长度实际上就是方程$ax^2-(a+3)x+2=0$ 两根差的绝对值
, 而此方程$\Delta =(a+3)^2-8a=a^2-2a+9=(a-1)^2+8>0$, 设方程两根为$x_1,x_2$, 由韦达
定理得:$x_1+x_2=\frac{a+3}{a}$, $x_1x_2=\frac{2}{a}$
\[
|x_1-x_2|=2\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}\Rightarrow
7a^2+2a-9=0
\]
解得$a=1$ 或$a=-\frac{9}{7}$. 故所求的二次函数为$y=x^2-4x+2$ 或 $y=-\frac{9}{7}x^2-\frac{12}{7}x+2$.