初二下学期

每日一题：2020-06-30

每日一题: 2020-06-30

题目: 已知二次函数的图象开口向上且不过原点$O$, 顶点坐标为$(1,-2)$, 与$x$ 轴交于点
$A,B$, 与$y$ 轴交于点$C$, 且满足关系$|OC|^2=|OA|\cdot |OB|$.
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 求$\triangle ABC$ 的面积.

参考思路 设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2-2=ax^2-2ax+a-2$ 且$a>0$, 再设图象与$x$ 轴, $y$ 轴 的交点分别为$A(x_1,0),B(x_2,0),C(0,a-2)$. (1) 由$|OC|^2=|OA|\cdot |OB|\Rightarrow (a-2)^2=|x_1x_2|=|\frac{a-2}{a}|\Rightarrow a^3-4a^2+4a=|a-2|$. 当$0\lt a\lt 2$ 时, 有$a^3-4a^2+5a-2=0\Rightarrow (a-1)^2(a-2)=0$ $\Rightarrow a_1=1$ 或$a_2=2$ (舍去). 由$a=1\Rightarrow y=x^2-2x-1$. 当$a>2$ 时, 有$a^3-4a^2+3a+2=0\Rightarrow (a-2)(a^2-2a-1)=0$ $\Rightarrow a_1=2$ (舍去), $a_2=1+\sqrt{2}, a_3=1-\sqrt{2}<0$(舍去) 故$a=1+\sqrt{2}$ 即$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$. (2) 由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |OC|$, 有以下两种情况: 当$y=x^2-2x-1$ 时 $|AB|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}$, 又$|OC|=1$, 故$S_{\triangle ABC}=\sqrt{2}$. 当$y=(1+\sqrt{2})x^2-(2+2\sqrt{2})x+\sqrt{2}-1$ 时 $|AB|=2\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$, 又$|OC|=\sqrt{2}-1$, 所以$S_{\triangle ABC}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$ 综上, 所求$\triangle ABC$ 的面积为$\sqrt{2}$ 或$(\sqrt{2}-1)\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}$.
初二下学期

每日一题：2020-06-29

每日一题: 2020-06-29

题目: 已知关于$x$ 的二次函数$y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$ 的图象与$x$ 轴的交点为
$A(x_1,0)$, $B(x_2,0)$, 且$x_1^2+x_2^2=5$, 与$y$ 轴的交点为$C$, 它的顶点为$M$, 求直线$CM$ 的方程.

参考思路 设$x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$ 的两根为$x_1,x_2$, 所以$\Delta =(2m-1)^2-4(m^2+3m+4)=-16m-15>0\Rightarrow m<-\frac{15}{16}$. 又由韦达定理$x_1+x_2=2m-1, x_1x_2=m^2+3m+4$, 所以 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m-1)^2-2(m^2+3m+4)=5\Rightarrow m^2-5m-6=0$. 解得$m=-1$ 或$m=6$ (舍去) 所以二次函数解析式为: $y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\Rightarrow C(0,2),M(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$ 易求得$CM$ 的直线方程为: $y=\frac{3}{2}x+2$.
初二下学期

每日一题：2020-06-28

每日一题: 2020-06-28

题目: 已知抛物线$y=x^2+bx+c$ 经过点$(1,-5)$ 和$(-2,4)$.
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 设此抛物线与直线$y=x$ 相交于点$A,B$ (点$B$ 在点$A$ 的右侧), 平行于$y$ 轴的直线
$x=m(0\lt m\lt \sqrt{5}+1)$ 与抛物线交于点$M$, 与直线$y=x$ 交于点$N$, 交$x$ 轴于点
$P$, 求线段$MN$ 的长(用含$m$ 的代数式表示).
(3) 在条件(2)的情况下, 连结$OM,BM$, 是否存在$m$ 的值, 使$\triangle BOM$ 的面积$S$
最大? 若存在, 请求出$m$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

参考思路 (1) 代入点$(1,-5),(-2,4)$得方程组 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} 1+b+c=-5 \\\\ 4-2b+c=4 \\end{array}\\right.\Rightarrow b=-2,c=-4 \\] 所以$y=x^2-2x-4$. (2)由$x^2-2x-4=x\Rightarrow x_1=-1,x_2=4\Rightarrow A(-1,-1),B(4,4)$, 根据题意得 $N(m,m), M(m,m^2-2m-4)\Rightarrow MN=m-(m^2-2m-4)=-m^2+3m+4$. \\[ S_{\triangle BOM}=S_{\triangle OMN}+S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}\times m\times (-m^2+3m+4)+\frac{1}{2}\times (4-m)\times (-m^2+3m+4)=-2(m-\frac{3}{2})^2+\frac{25}{2} \\] 所以当$m=\frac{3}{2}$ 时$S_{\triangle BOM}$ 取得最大值$\frac{25}{2}$. ![图片挂了, 刷新一下呗](/images/20200628s1.png "奇怪的知识增加了")
初二下学期

每日一题：2020-06-27

每日一题: 2020-06-27

题目: 已知函数$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$ 在$m\leq x\leq n$ 时最小值是$3m$, 最大值是$3n$.
求$m,n$ 的值.

参考思路 由$f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$, 知道$3n\leq \frac{1}{2}\Rightarrow n\leq \frac{1}{6}$. 所以$n<1$, 所以当$m\leq x\leq n$ 时$f(x)$ 随$x$ 的增大而增大, 所以得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} f(n)=3n \\\\ f(m)=3m \\end{array}\\right.\Rightarrow m=-4, n=0 \\]
初二下学期

每日一题：2020-06-26

每日一题: 2020-06-25

题目: 已知函数$y=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$, 是否存在实数$m$, 使得函数在$1\leq
x\leq m$ 范围内时有$1\leq y\leq m (m>1)$? 若存在, 求出$m$ 的值? 若不存在, 请说明理由.

参考思路 二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+1$, 所以函数对称轴方程$x=1$, 当 $x=1$ 时取得最小值$y=1$. 由题意知当$x=m$ 时要有$y=m$, 即$\frac{1}{2}m^2-m+\frac{3}{2}=m\Rightarrow m^2-4m+3=0$ $\Rightarrow m=3$ 或$m=1$(舍去).所以存在 $m=3$ 满足要求.
初二下学期

每日一题：2020-06-25

每日一题: 2020-06-25

题目: 如图, 五边形$ABCDE$ 是边长为$4$ 的正方形截去一个角得到的, $AF=2,BF=1$.
试在$AB$ 上求一点, 使得矩形$PNDM$ 面积最大.

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参考思路 以$D$ 为原点, $DC$ 所在直线为$x$ 轴, $DE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系, 所以 $A,B$ 的坐标分别为$A(2,4),B(4,3)$, 设$AB$ 所在的直线方程为$y=kx+b$, 代入$A,B$ 可解 得$k=-\frac{1}{2}, b=b$, 所以线段$AB$ 的解析式$y=-\frac{x}{2}+5 (2\leq x\leq 4)$ 设$P(x,y)$. 所以$S=xy=x(5-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$, 当$x<5$ 时$S$ 随$x$ 的增大而增大, 所以当$x=4$ 时$S$ 取得最大值$12$.
初二下学期

每日一题：2020-06-24

每日一题: 2020-06-24

题目: 已知二次函数$y=ax^2+(2a-1)x-3$ 在$-\frac{3}{2}\leq x\leq 2$ 上的最大值为$1$,
求$a$ 的值.

参考思路 二次函数的对称轴方程为$x=\frac{1-2a}{2a}$. 函数最大值只可能在$x=-\frac{3}{2},x=2,x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得. 下面逐一检验. (1) 若最大值$1$ 在$x=-\frac{3}{2}$ 取得, 由此解得$a=-\frac{10}{3}$, 但此时$\frac{1-2a}{2a}=-\frac{23}{20}$ 在自变量的取值范围内, 故最大值应在$x=-\frac{23}{20}$ 取得. 所以这种情况不会出现. (2) 若最大值$1$ 在$x=2$ 取得, 解得$a=\frac{3}{4}$, 此时对称轴为$x=-\frac{1}{3}$,而 $|2-(-\frac{1}{3})|>|-\frac{1}{3}-(-\frac{3}{2})|$, 故$y$ 在$x=2$ 处的值的确时函数 最大值, 即$a=\frac{3}{4}$ 是符合题意得一个解. (3) 若最大值$1$ 在$x=\frac{1-2a}{2a}$ 取得, 得$a=\frac{1}{2}(-3\pm 2\sqrt{2})$, 注意, 此时必须$a<0$ 且$-\frac{3}{2}\leq \frac{1-2a}{2a}\leq 2$, 易知只有$a=-\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})$ 符合要求. 综上, 所求的解是$a=\frac{3}{4}$ 或$a=-\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.
初二下学期

每日一题：2020-06-23

每日一题: 2020-06-23

题目: 设$a>0$, 试求二次函数$y=-x^2+2ax$ 在$0\leq x\leq 1$ 时的最大值和最小值.

参考思路 因为$y=-(x-a)^2+a^2$, 所以函数的对称轴方程为直线$x=a$. (1) 若$0\lt a\leq \frac{1}{2}$, 函数在$x=a$ 时取得最大值$a^2$, 在$x=1$ 时取得最小值$2a-1$; (2) 若$\frac{1}{2}\lt a\leq 1$ 时, 函数在$x=a$ 时取得最大值, 在$x=0$ 时取最小值$0$; (3) 若$a\gt 1$ 时, 函数在$0\leq x\leq 1$ 范围内单调递增, 当$x=1$ 时取得最大值$2a-1$, 当$x=0$ 时取得最小值$0$.
初二下学期

每日一题：2020-06-22

每日一题: 2020-06-22

题目: $f(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{13}{2}$, 在$a\leq x\leq b$ 的范围内最小值为$2a$,
最大值为$2b$, 求实数对$(a,b)$.

参考思路 分三种情况讨论. (1) $0\leq a\lt b$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递减. 所以$f(a)=2b,f(b)=2a$. \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} 2b=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\\\ 2a=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} a=1 \\\\ b=3 \\end{array}\\right. \\] (2) $a\lt b\leq 0$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递增. 所以$f(a)=2a, f(b)=2b$. \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} 2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\\\ 2b=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \\end{array}\\right. \\] 由于方程$\frac{x^2}{2}+2x-\frac{13}{2}=0$ 的两根异号, 所以满足条件的$(a,b)$ 不存在. (3) $a\lt 0\lt b$, 此时$f(x)$ 在$x=0$ 处取最大值, 即$2b=f(0)=\frac{13}{2}\Rightarrow b=\frac{13}{4}$. 而$f(x)$ 在$x=a$ 或$x=b$ 处取最小值$2a$, 由于$a\lt 0, f(b)=-\frac{1}{2}(\frac{13}{4})^2+\frac{13}{2}=\frac{39}{32}>0$. 所以$f(a)=2a(a\lt 0)$ 即$2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2}$, 于是 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\\\ b=\frac{13}{4} \\end{array}\\right. \\] 综上: \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} a=1 \\\\ b=3 \\end{array}\\right.或 \\left\\{\\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\\\ b=\frac{13}{4} \\end{array}\\right. \\]
初二下学期

每日一题：2020-06-21

每日一题: 2020-06-21

题目: 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a<0)$ 与坐标轴有且只有两个公共点, 这两个公式点到原点
的距离分别是$2$ 和$3$, 对称轴在$y$ 轴左侧.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) $x$ 在怎样的范围内, $y$ 随$x$ 增大而减小?

参考思路 由题意知, 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 与坐标轴的交点坐标分别为$(0,c),(-\frac{b}{2a},0)$. 因为$a<0$, 抛物线开口向下, 顶点在$x$ 轴上, 所以抛物线与$y$ 轴交点的纵坐标$c<0$; 又已知对称轴$x=-\frac{b}{2a}$ 在$y$ 轴左侧, 故$-\frac{b}{2a}<0$, 得$b<0$, 于是可分 两种情况求解析式: (a) \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} c=-2 \\\\ \frac{b}{2a}=3 \\\\ \Delta=b^2-4ac=0 \\end{array}\\right.\Rightarrow a=-\frac{2}{9}, b=-\frac{4}{3}, c=-2 \\] 抛物线解析式为$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$. (b) \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} c=-3 \\\\ \frac{b}{2a}=2 \\\\ \Delta=b^2-4ac=0 \\end{array}\\right.\Rightarrow a=-\frac{3}{4}, b=-3, c=-3 \\] 抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$ (2) 先在坐标平面内分别画出两条抛物线的示意图, 不难发现: 当$x>-3$ 时$y=-\frac{2}{9}x^2-\frac{4}{3}x-2$ 随$x$ 增大而减小; 当$x>-2$ 时, $y=-\frac{3}{4}x^2-3x-3$ 随$x$ 增大而减小. 综上, 当$x>-2$ 时, 上述两个函数$y$ 均随$x$ 增大而减小.