设直线与$x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为$A,B$.
令$y=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{n}\Rightarrow A\left( \frac{\sqrt{2}}{n},0 \right) $; 令$x=0\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{n+1}\Rightarrow A\left(0, \frac{\sqrt{2}}{n+1} \right) $.
因此有
\[
S_n=\frac{1}{2}|OA|\times |OB|=\frac{1}{n(n+1)}
\]
所以
\[
S_1+S_2+\cdots+S_{2020}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2020}{2021}.
\]

因为$y=\frac{3x+1}{x-1}=\frac{3(x-1)+4}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$.

由于$y=3+\frac{4}{x-1}$ 的图象是由函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象向上平移三个单位得到;

函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象是有函数$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位得到.

因此函数$y=\frac{3x+1}{x-1}$ 的图象是由$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位,
向上平移三个单位得到, 图象如图所示, 从图象可知$y$ 的取值范围是$y\neq 3$.

图中线段垂直关系较多, 可建立平面直角坐标系, 用$m$ 表示点$C$ 的坐标, 从而由
$S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}$ 得$S$ 关于$m$ 的函数解析式.
如图所示建立平面直角坐标系, $A(0,3), B(0,0), D(2,3), P(0,3-m)$.
求得直线$PD$ 的解析式为

\[
y=\frac{m}{2}x+3-m.
\]

由$CD\bot PD$ 可得直线$CD$ 解析式为

\[
y=-\frac{2}{m}x+\frac{3m+4}{m}.
\]

所以$C\left( \frac{3m+4}{2},0 \right)$, 则

\[
S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}=\frac{3}{4}m^2+3.
\]

本题也可以通过构造一线三等角模型通过相似来解答, 已经学了相似得同学可以尝试做做

如图所示, 设$D,E$ 分别为$BC,AC$ 的中点, 所以$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$.
易求得$AD: y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7}; BE: y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2}$. 联立得
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7} \\ y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2} \end{array}\right.\Rightarrow G(-\frac{2}{3},0)
\]

再易求得$BC: y=\frac{4}{5}x-\frac{7}{5}; AC: y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$.
所以设$BC$ 的垂直平分线$OD: y=-\frac{5}{4}x+b_1$; $AC$ 的垂直平分线$OE:y=6x+b_2$.
代入$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$ 解得$b_1=-\frac{3}{8}, b_2=\frac{3}{2}$

\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{5}{4}x-\frac{3}{8} \\ y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2} \end{array}\right.\Rightarrow O(-\frac{15}{58},-\frac{3}{58})
\]

如图所示, 已知直线$AB$ 的方程为$y=-x+2$, 直线$y=ax-a$ 过定点$C(1,0)$.
下面分两种情况讨论.

(1) 直线$y=ax-a$ 与线段$OA$ 相交, 设交点为$E$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是三角形.
所以$S=\frac{1}{2}\times OE\times OC=\frac{1}{2}\times (-a)\times 1=-\frac{a}{2}$.
此时$-2\leq a<0$

(2) 直线$y=ax-a$ 与线段$AB$ 相交, 设交点为$D$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是四边形.
由
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=ax-a \\ y=-x+2 \end{array}\right.\Rightarrow D\left( \frac{2+a}{1+a},\frac{a}{1+a} \right)
\]

而此时$a$ 的范围是$a<-2$ 或$a>0$.(因为除了$a=0$ 不考虑外, 直线不是与线段$OA$ 相
交就是和线段$AB$相交)
$S=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle DCB}=2-\frac{1}{2}\times 1\times\frac{a}{1+a}=\frac{4+3a}{2+2a}$.
所以有
\[
S=\left\{\begin{array}{lr} -\frac{a}{2} & (-2\leq a<0) \\ \frac{4+3a}{2+2a} & (a<-2 \mbox{或} a>0) \end{array}\right.
\]

由题意得$x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0$.
\[
\left\{\begin{array}{lr} 3y+2z=3-x \\ 3y+z=4-3x \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} y=\frac{5}{3}(1-x) \\ z=2x-1 \end{array}\right.
\]
根据$y\geq 0,z\geq 0\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq 1$.

又因为$u=3x-2y+4z=3x-2[\frac{5}{3}(1-x)]+4(2x-1)=\frac{1}{3}(43x-22)$.
所以, 当$x=\frac{1}{2}$ 时, $u$ 取最小值$-\frac{1}{6}$; 当$x=1$ 时, $u$ 取最大值7.

当$-1\leq x<0$ 时, $y=(2-x)+\frac{1}{2}x+(x+2)=\frac{1}{2}x+4$;
当$0\leq x\leq 2$ 时, $y=(2-x)-\frac{1}{2}x+(x+2)=-\frac{1}{2}x+4$.

画出图象如下图所示, 知当$x=0$ 时取得最大值为$4$, 当$x=2$ 时取得最小值为$3$,
所以最大值与最小值的差为$1$.

化简绝对值得:
\[
y=\left\{\begin{array}{lr} -x-2 & (x\geq 1) \\ -5x+2 & (0\leq x<1) \\ x+2 & (x<0) \end{array}\right.
\]
画出图象如下, 所以当$x=0$ 时取得最大值$2$.

如图以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$ 轴, $AE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系.
设$AB=1,AE=a, ED=b\Rightarrow C(b+1,a),B(1,0),D(b,a),E(0,a)$.
所以易得直线方程: $AD: y=\frac{a}{b}x, CB: y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b}, AC:y=\frac{b+1}{a}x$.
因为$AF\bot CB\Rightarrow AK: y=-\frac{b}{a}x$.
联立$AF,CB$ 可得$F$ 点坐标
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{b}{a}x \\ y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b} \end{array}\right.\Rightarrow F\left( \frac{a^2}{a^2+b^2},-\frac{ab}{a^2+b^2} \right) .
\]
易求得$EF: y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a, BD: y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1}$, 联立得$P$ 点坐标
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1} \\ y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a \end{array}\right.\Rightarrow P\left( \frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)},\frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)}\times \frac{a}{b-1}-\frac{a}{b-1} \right)
\]
通过计算可得: $AP: y=-\frac{b+1}{a}x$.
因为$-\frac{b+1}{a}\times \frac{a}{b+1}=-1$, 所以$PA\bot AC$.

注: 这里用到下面这个关系: 如果直线$l_1: y=k_1x+b_1, l_2: y=k_2x+b_2$, 则$l_1\bot l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2 =-1$.

如图所示, 设$DA=DB=x$, 所以$DO=8-x$, 且$OD^2+OB^2=DB^2\Rightarrow x=5\Rightarrow D(0,3)$.
$S_{ABD}=\frac{1}{2}\times AD\times OB=10\Rightarrow S_{BDM}=5$.
因为$M$ 在第一象限,显然$M$ 在$BD$ 的右侧, 因此
\[
S_{BDM}=S_{ODM}+S_{OBM}-S_{OBD}=\frac{3a}{2}+2-6=9\Rightarrow a=6
\]

思路二:
过$B$ 作$BC\bot x$ 轴, 交$DM$ 于点$C$.
$S_{BDM}=S_{BCD}+S_{BCM}=\frac{1}{2}\times BC\times |x_C-x_D|+\frac{1}{2}\times BC\times |x_M-x_C|=\frac{1}{2}\times BC\times a$.
求得$DM$ 的直线方程为: $y=-\frac{2}{a}x+3$,当$x=4$ 时可得$BC=-\frac{8}{a}+3$.
所以$\frac{1}{2}(-\frac{8}{3}+3)a=5\Rightarrow a=6$.