每日一题: 2020-06-10
题目: 若方程$x^2+2ax+b^2=0$ 与$x^2+2cx-b^2=0$ 有一个相同的根, 且$a,b,c$ 为一个三角
形的三条边, 说明三角形的形状.
每日一题：2020-06-09
每日一题: 2020-06-09
题目: 已知实数$x,y$ 满足$\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3, y^4+y^2=3$,求$\frac{4}{x^4}+y^4$ 的值.
参考思路
因为$\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3\Rightarrow (-\frac{2}{x^2})^2+(-\frac{2}{x^2})=3$; 又$y^4+y^2=3\Rightarrow (y^2)^2+y^2=3$, 且$-\frac{2}{x^2}<0, y^2\geq 0$, 所以 $-\frac{2}{x^2}, y^2$ 是一元二次方程$t^2+t-3=0$ 的两个不等实根. 由韦达定理: $-\frac{2}{x^2}+y^2=-1, -\frac{2}{x^2}\cdot y^2=-3$ \\[ \therefore \frac{4}{x^4}+y^4=(-\frac{2}{x^2}+y^2)^2-2(-\frac{2}{x^2}\cdot y^2)=1+6=7. \\]每日一题：2020-06-08
题目: 2020-06-09
题目: 已知实数$a,b,c$ 满足$a\leq b\leq c$, 且$ab+bc+ca=0, abc=1$. 求证: $|a+b|\geq 4|c|$.
参考思路
由已知$a,b,c$ 都不等于$0$, 且$c>0$. 因为$ab=\frac{1}{c}>0, a+b=-\frac{1}{c^2}<0$. 所以$a\leq b<0$. 由一元二次方程根与系数关系知, $a,b$ 是一元二次方程$x^2+\frac{1}{c^2}x+\frac{1}{c}=0$ 的两个实数根, 于是$\Delta=\frac{1}{c^4}-\frac{4}{c}\geq 0\Rightarrow c^3\leq \frac{1}{4}$. 因此$|a+b|=-(a+b)=\frac{1}{c^2}\geq 4c=4|c|$.每日一题：2020-06-07
每日一题: 2020-06-07
题目: 设$a,b,c$ 都是实数, $ac\neq 0$, 且方程$ax^2+bx+c=0$ 有一个正根$x=m$.
求证: 方程$cx^2+bx+a=0$ 必有一实根$n$, 使得$m+n\geq 2$.
参考思路
因为$x=m$ 是方程的正根, 所以$am^2+bm+c=0\Rightarrow c(\frac{1}{m})^2+b\frac{1}{m}+a=0$. 所以$x=1/m$ 是方程$cx^2+bx+a=0$一个根, 设$n=\frac{1}{m}$. 因此$m+n=m+\frac{1}{m}-2+2=(\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}})^2+2\geq 2$.每日一题：2020-06-06
每日一题: 2020-06-06
题目: 已知三个关于$x$ 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0, bx^2+cx+a=0, cx^2+ax+b=0$ 恰有一
个公共实数根, 求$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$ 的值.
参考思路
解设$\alpha$ 为这三个方程的公共根, 则有 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} a\alpha^2+b\alpha+c=0 \\\\ b\alpha^2+c\alpha+a=0 \\\\ c\alpha^2+a\alpha+b=0 \\end{array}\\right. \\] 三式相加得$(a+b+c)(\alpha^2+\alpha+1)=0$, 因为$\alpha^2+\alpha+1=(\alpha+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\neq 0\Rightarrow a+b+c=0$. 原式=$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3-(a+b)^3}{-ab(a+b)}=3$每日一题：2020-06-04
每日一题: 2020-06-04
题目: 设方程$x^2-px+q=0, x^2-qx+p=0$ 的根都是正整数, 求正整数$p,q$ 的值.
参考思路
设方程$x^2-px+q=0$ 的两根为$x_1,x_2$; 方程$x^2-qx+p=0$ 的两根为$x_3,x_4$. 由韦达定理, 有$x_1+x_2=p, x_1x_2=q, x_3+x_4=q, x_3x_4=p$ 所以$x_1+x_2=x_3x_4, x_1x_2=x_3+x_4\Rightarrow x_1x_2-x_1-x_2+x_3x_4-x_3-x_4=0$ 因此有$(x_1-1)(x_2-1)+(x_3-1)(x_4-1)=2$, 所以$(x_1-1)(x_2-1)=2,1,0$ 时, $(x_3-1)(x_4-1)$ 相应取$0,1,2$. \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} (x_1-1)(x_2-1)=2 \\\\ (x_3-1)(x_4-1)=0 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} p=5 \\\\ q=6 \\end{array}\\right. \\] 同理可求得另外两组解, 综上 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} p=5 \\\\ q=6 \\end{array}\\right., \\left\\{\\begin{array}{lr} p=4 \\\\ q=4 \\end{array}\\right., \\left\\{\\begin{array}{lr} p=6 \\\\ q=5 \\end{array}\\right. \\]每日一题：2020-06-03
每日一题: 2020-06-03
题目: 已知方程$x^2+3x+1=0$ 的两根为$\alpha,\beta$. 求$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ 的值.
参考思路
解法一: 设$t=\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\Rightarrow t^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}+2 (t>0)$ 又$\alpha+\beta=-3, \alpha\beta=1\Rightarrow t^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}+2=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}+2=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}+2=9\Rightarrow t=3$ 解法二: 因为$\alpha+\beta=-3, \alpha\beta=1\Rightarrow \alpha<0,\beta<0$, 所以 \\[ 原式=\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{|\beta|}+\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{|\alpha|}=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=3 \\]每日一题：2020-06-01
每日一题: 2020-06-01
题目: $m$ 为什么整数时, $9m^2+5m+26$ 能分解成两个连续自然数的乘积.