由已知$x_1>0,x_2>0$. $f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)=\frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}$; $\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)=\frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2}$.
所以得

$(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) =\lambda^2+\lambda (1-\lambda )\left( \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \right) +(1-\lambda )^2$

因为

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}-2=\left( \sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\sqrt{\frac{x_2}{x_1}} \right) ^2\Rightarrow \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\geq 2$

所以有

$(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) \geq \lambda^2+2\lambda (1-\lambda ) +(1-\lambda )^2 =(\lambda +1-\lambda )^2=1$

因此可得

$\frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}\geq \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2}$

即$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$. 所以
$y=\frac{1}{x}(x>0)$ 为凸函数.

设$A(a,3a) (a>0)$ 所以可以用$a$ 表示直线$AB$ 的方程, 设直线方程为$y=kx+b$, 代
入点$A(a,3a), M(8,3)$, 得直线方程的解析式为:
\[
y=\frac{3-3a}{8-a}x+\frac{21a}{8-a}
\] 令$y=0\Rightarrow B\left( \frac{7a}{a-1},0 \right) $. 这里显然有$a>1$.

所以$\triangle OAB$ 的面积$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7a}{a-1}\cdot 3a=\frac{21}{2}\cdot \frac{a^2}{a-1}$.

下求$\frac{a^2}{a-1}$ 的最小值
\[
\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}=a-1+\frac{1}{a-1}-2+4=\left( \sqrt{a-1}-\frac{1}{\sqrt{a-1}} \right)^2+4
\]
所以$\frac{a^2}{a-1}\geq 4$ 当$\sqrt{a-1}=1$ 即$a=2$ 时取到等号.

因此$S_{min}=\frac{21}{2}\cdot 4=42$.

因为$f(x)=\left( m-\frac{1}{m} \right)x+\frac{1}{m}$, 所以

(1)当$0\lt m\lt 1$ 时, $(m-\frac{1}{m})\lt 0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而减小, 因此有$g(m)=f(1)=m$.

(2) 当$m>1$ 时, $(m-\frac{1}{m})>0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而增大, 因此有$g(m)=f(0)=\frac{1}{m}$.

(3) 当$m=1$ 时, $f(1)=1\Rightarrow g(m)=1$.

综上可得
\[
g(m)=\left\{\begin{array}{lr} m & (0\lt m \leq 1) \\ \frac{1}{m} & (m>1) \end{array}\right.
\]

画出图象如图所示, 可知当$m=1$ 时$g(m)$ 取得最小值为$1$.

画出函数$y=\frac{5}{x}, y=2x+3$的图象如图所示, 由$\frac{5}{x}=2x+3\Rightarrow x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$.

由图象可知原不等式的解集为 $-\frac{5}{2}\lt x\lt 0$ 或 $x\gt 1$

用分离常数的方法化简函数得

\[
y=\frac{5x+4}{2x+3}=\frac{\frac{5}{2}(2x+3)-\frac{7}{2}}{2x+3}=\frac{5}{2}-\frac{7/2}{2x+3}=\frac{5}{2}-\frac{\frac{7}{4}}{x+\frac{3}{2}}
\]
所以函数图象由$y=-\frac{7/4}{x}$ 的图象向上平移$\frac{5}{2}$个单位, 向左平移
$\frac{3}{2}$ 个单位得到, 如图所示

(2) 由于当$x=-3$ 时$y=\frac{11}{3}$, 当$x=5$ 时, $y=\frac{29}{13}$, 由图象可知
$y$ 的取值范围是$y\geq \frac{11}{3}$ 或$y\leq \frac{29}{13}$.

(1) 由题设可得$S_1=x_1y_1, S_2=x_2y_2,C_1=2x_1+2y_1, C_2=2x_2+2y_2$.
因为$P_1,P_2$ 都在反比例函数图象上, 所以$x_1y_1=x_2y_2=k\Rightarrow S_1=S_2$;

\[
C_2-C_1=2(x_2+y_2)-2(x_1+y_1)=2(x_2-x_1)+2(y_2-y_1)=2(x_2-x_1)+(\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1})
\]

通过化简可得

\[
C_2-C_1=2(x_2-x_1)\left( 1-\frac{k}{x_1x_2} \right)
\]

所以当$x_1x_2=k$ 时有$C_1=C_2$; 当$x_1x_2>k$ 时有$C_2>C_1$; 当$k>x_1x_2$ 时有 $C_1 > C_2$

(2)设$P(x,y)$, 易得四边形$PMON$ 的周长

\[
C=2x+2y=2x+\frac{2k}{x}=2(x-2\sqrt{k}+\frac{k}{x})+4\sqrt{k}=2(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}})^2+4\sqrt{k}.
\]

所以当$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}}$ 即$x=\sqrt{k}$ 时, $C$ 取得最小值$4\sqrt{k}$.

如图所示, 当$CD$ 在第一象限时, 因为$S_{ASON}=S_{CTOQ}=|k_1|=k_1, S_{BSOM}=S_{DTOP}=|k_2|=k2$.
所以$|k_1-k_2|=S_{ABMN}=S_{CDPQ}$. 设$OT=a, \therefore ST=6$, 可得
\[
\frac{3}{4}(a+6)=\frac{3}{2}a\Rightarrow a=6
\]

所以$k_1-k_2=\frac{3}{2}a=\frac{3}{2}\times 6=9$.

(2) 当$CD$ 在第三象限时, 如图所示, 同上的方法可求得$k_1-k_2=3$.

综上可得$k_1-k_2=3$或$9$.

设直线与$x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为$A,B$.
令$y=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{n}\Rightarrow A\left( \frac{\sqrt{2}}{n},0 \right) $; 令$x=0\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{n+1}\Rightarrow A\left(0, \frac{\sqrt{2}}{n+1} \right) $.
因此有
\[
S_n=\frac{1}{2}|OA|\times |OB|=\frac{1}{n(n+1)}
\]
所以
\[
S_1+S_2+\cdots+S_{2020}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2020}{2021}.
\]

因为$y=\frac{3x+1}{x-1}=\frac{3(x-1)+4}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$.

由于$y=3+\frac{4}{x-1}$ 的图象是由函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象向上平移三个单位得到;

函数$y=\frac{4}{x-1}$ 的图象是有函数$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位得到.

因此函数$y=\frac{3x+1}{x-1}$ 的图象是由$y=\frac{4}{x}$ 的图象向右平移一个单位,
向上平移三个单位得到, 图象如图所示, 从图象可知$y$ 的取值范围是$y\neq 3$.

图中线段垂直关系较多, 可建立平面直角坐标系, 用$m$ 表示点$C$ 的坐标, 从而由
$S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}$ 得$S$ 关于$m$ 的函数解析式.
如图所示建立平面直角坐标系, $A(0,3), B(0,0), D(2,3), P(0,3-m)$.
求得直线$PD$ 的解析式为

\[
y=\frac{m}{2}x+3-m.
\]

由$CD\bot PD$ 可得直线$CD$ 解析式为

\[
y=-\frac{2}{m}x+\frac{3m+4}{m}.
\]

所以$C\left( \frac{3m+4}{2},0 \right)$, 则

\[
S=S_{ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}=\frac{3}{4}m^2+3.
\]

本题也可以通过构造一线三等角模型通过相似来解答, 已经学了相似得同学可以尝试做做