每日一题: 2020-06-20
题目: 已知抛物线$y=mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4$ 与$x$ 轴交于$A,B$ 两点, 与$y$ 轴交于$C$ 点,
若$\triangle ABC$ 为等腰三角形, 求抛物线的解析式.
每日一题：2020-06-19
每日一题: 2020-06-19
题目: 二次函数图象的对称轴为$x=-2$, 它与直线$y=2x+1$ 相切且图象在$x$ 轴上截得的线
段长为$2\sqrt{2}$, 求函数解析式.
参考思路
解设抛物线方程: $y=a(x+2)^2+c=ax^2+4ax+4a+c$. 因为与直线相切, 联立两方程 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} y=2x+1 \\\\ y=ax^2+4ax+4a+c \\end{array}\\right. \\] 消去$y$ 并整理得方程 $ax^2+(4a-2)x+4a+c-1=0$ 有两个相等实根 $\therefore \Delta_1 =(4a-2)^2-4a(4a+c-1)=0\Rightarrow ac=1-3a$. 又设方程$ax^2+4ax+4a+c=0$ 两实数根为$x_1,x_2\Rightarrow x_1+x_2=-4, x_1x_2=\frac{4a+c}{a}$ \\[ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{-4c}{a}}=2\sqrt{2} \\] 可得$ac=-2a^2=1-3a\Rightarrow 2a^2-3a+1=0\Rightarrow a_1=1,a_2=\frac{1}{2}$. 当$a=1$ 时, $c=-2a=-2$, 解析式为: $y=x^2+4x+2$; 当$a=\frac{1}{2}$ 时, $c=-2a=-1$, 解析式为: $y=\frac{1}{2}x^2+2x+1$. 经检验上式两个均满足要求.每日一题：2020-06-18
每日一题: 2020-06-18
题目: 设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$ 满足条件: $f(0)=2, f(1)=-1$. 且其图象在$x$ 轴上截
得的线段长为$2\sqrt{2}$. 求此二次函数.
参考思路
由$f(0)=-2,f(1)=-1$ 可得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} c=2 \\\\ a+b+c=-1 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} c=2 \\\\ b=-(a+3) \\end{array}\\right. \\] 因此, 二次函数是: $y=ax^2-(a+3)x+2$ 二次函数的图象在$x$ 轴所截得线段长度实际上就是方程$ax^2-(a+3)x+2=0$ 两根差的绝对值 , 而此方程$\Delta =(a+3)^2-8a=a^2-2a+9=(a-1)^2+8>0$, 设方程两根为$x_1,x_2$, 由韦达 定理得:$x_1+x_2=\frac{a+3}{a}$, $x_1x_2=\frac{2}{a}$ \\[ |x_1-x_2|=2\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}\Rightarrow 7a^2+2a-9=0 \\] 解得$a=1$ 或$a=-\frac{9}{7}$. 故所求的二次函数为$y=x^2-4x+2$ 或 $y=-\frac{9}{7}x^2-\frac{12}{7}x+2$.每日一题：2020-06-17
每日一题: 2020-06-17
题目: 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$ (其中$a$ 是正整数)的图象经过$A(-1,4)$ 与点$B(2,1)$,
并且与$x$ 轴有两个不同的交点, 求$b+c$ 的最大值.
参考思路
由图象过$(-1,4),(2,1)$ 得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} a-b+c=4 \\\\ 4a+2b+c=1 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} b=-a-1 \\\\ c=3-2a \\end{array}\\right. \\] 又$\Delta =b^2-4ac>0\Rightarrow (-a-1)^2-4a(3-2a)>0\Rightarrow a\geq 2$. 因此$b+c=-3a+2\leq -4$.每日一题：2020-06-16
每日一题: 2020-06-16
题目: 设抛物线$y=ax^2+bx+c\ (a\neq 0)$ 的顶点为$(-2,1)$, 且$ax^2+bx+c=0$ 的两根之
差的绝对值为$2$, 求$a+b+c$ 的值.
参考思路
有已知得$y=a(x+2)^2+1=ax^2+4ax+4a+1$, 设$ax^2+4ax+4a+1=0$ 的两实数根为$x_1,x_2$. 所以$x_1+x_2=-4, x_1x_2=4+\frac{1}{a}$, 根据$|x_1-x_2|=2$ 可得 $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4\Rightarrow 16-16-\frac{4}{a}=4\Rightarrow a=-1$. 因此$a+b+c=a+4a+4a+1=8a+1=-8$.每日一题：2020-06-15
每日一题: 2020-06-15
题目: 如图, 直线$l$ 经过点$A(1,0)$, 且与双曲线$y=\frac{m}{x}(x>0)$ 交于点$B(2,1)$.
过点$P(p,p-1)(p>1)$ 作$x$ 轴的平行线分别交曲线$y=\frac{m}{x}(x>0)$ 和$y=-\frac{m}{x}(x<0)$
于点$M,N$ 两点.
(1) 求$m$ 的值及直线$l$ 的解析式;
(2) 是否存在实数$p$, 使得$S{\triangle AMN}=4S{\triangle AMP}$? 若存在, 请求出所
有满足条件的$p$ 值; 若不存在, 请说明理由.
参考思路
因为$B(2,1)$ 在$y=\frac{m}{x}$ 图象上, 所以$m=2$. 设直线$l$ 的解析式为$y=kx+b$, 代入$A(1,0),B(2,1)\Rightarrow k=1,b=-1$, 所以$l:y=x-1$. 显然$P$ 在直线$l$ 上 (1) 当$P$ 在$AB$ 延长线上时, 如图所示, $\triangle AMN$ 和$\triangle AMP$ 是两个同 高的三角形, 底边$MN$ 和$MP$ 在同一条直线上.当$S_{\triangle AMN}=4S_{\triangle AMP}$ 时,有$MN=4MP\Rightarrow x_M-x_n=4(x_P-x_M)$, 因此 \\[ \frac{2}{p-1}-\left( -\frac{2}{p-1} \right) =4\left( p-\frac{2}{p-1} \right) \\] 解得$p=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ (此时点$P$ 在$x$ 轴下方,舍去)  (2) 当$P$ 在线段$AB$ 上时, $x_M-x_N=4(x_P-x_M)$, 因此 \\[ \frac{2}{p-1}-\left( -\frac{2}{p-1} \right) =4\left( \frac{2}{p-1}-p \right) \\] 解得$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或$p=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$(舍去) 综上$p=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ 和$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 满足要求 每日一题：2020-06-14
每日一题:2020-06-14
题目: 如图所示, 已知点$P,Q$ 为某反比例函数图象上不同的两点, 过$P,Q$分别作$x$ 轴的
垂线, 垂直分别为$M,N$. 如果直线$OP$平分梯形 $PMNQ$ 的面积且$P$ 的坐标为$(a,b)$.
求$Q$ 点的坐标.
参考思路
连接$OQ$, 设$QN$ 与$OP$ 相较于点$E$, 因为$S_{\triangle ONQ}=S_{\triangle OPM}$, 所以可得 $S_{\triangle OQE}=S_{四边形PENM}=S_{\triangle QEP}\Rightarrow OE=PE\Rightarrow ON=MN$ 因此可得$Q(\frac{a}{2},2b)$. 每日一题：2020-06-13
每日一题: 2020-06-13
题目: 如图所示, 已知$P,Q$ 为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$图象上两点, 满足
$OP=PQ, \angle OPQ=90^{\circ}$, 设$P(a,b)$, 求$\frac{a}{b}$ 的值.
参考思路
(1) 当$P$ 在$Q$ 点右边时, 如图所示, 分别过$P,Q$ 作平行于$x$ 轴, $y$ 轴的直线, 易得 $Q(a-b,a+b)$, 所以有$ab=(a+b)(a-b)\Rightarrow ab=a^2-b^2$ 两边同时除以$b^2$ 得 $\frac{a}{b}=(\frac{a}{b})^2-1\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或$\frac{a}{b}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (舍去)  (2) 当$P$ 在$Q$ 点左边时, 如图所示, 分别过$P,Q$ 作平行于$x$ 轴, $y$ 轴得直线, 同理 可得$Q(a+b,b-a)$, 所以$ab=b^2-a^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或 $\frac{a}{b}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (舍去)  综上可知$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$.每日一题：2020-06-12
每日一题: 2020-06-12
题目: 如图, 过点$C(3,4)$ 的直线$y=2x+b$ 交$x$ 轴于点$A$, $\angle ABC=90^{\circ},
\angle CAB=45 ^{\circ}$, 曲线$y=\frac{k}{x}(x>0)$ 过点$B$, 求$k$.
参考思路
如图所示,分别过点$C,B$ 作平行于$x$ 轴和$y$ 轴的直线. 与$y$ 轴$x$ 轴分别交于$M,N$, 两直线相交于点$P$. 因为$BC=BA, \angle CBA=90^{\circ}\Rightarrow \triangle PBC\cong \triangle NAB(AAS)$. 因此设$AN=BP=a, NB=PC=b$, 又易得$A(1,0)$, 由$ON=MP$ 及$PN=4$可得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} 1+a=b+3 \\\\ a+b=4 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} a=3 \\\\ b=1 \\end{array}\\right. \\] 所以$B(4,1)\Rightarrow k=4\times 1=4$. 每日一题：2020-06-11
每日一题: 2020-06-11
题目: 如图, 点$P$ 是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k<0)$ 图象上的点, $PA$ 垂直$x$ 轴于点
$A(-1,0)$, 点$C$ 的坐标为$(1,0)$, $PC$ 交$y$ 轴于点$B$, 连结$AB$, 已知$AB=\sqrt{5}$.
若$M(a,b)$ 是该反比例函数图象上的点, 且满足$\angle MBA\lt \angle ABC$, 求$a$ 的取
值范围.
