每日一题: 2020-05-21

题目: 设实数$s,t$ 分别满足$19s^2+99s+1=0, t^2+99t+19=0$, 并且$st\neq 1$.
求$\frac{st+4s+1}{t}$ 的值.

参考思路

显然$t\neq 0$, 将方程$t^2+99t+19=0$ 左右两边同时除以$t^2$ 得$19\cdot \frac{1}{t^2}+99\cdot \frac{1}{t}+1=0$. 因为$st\neq 1$, 所以$\frac{1}{t},s$ 是下面关于$x$ 的二次方程$19x^2+99x+1=0$ 的两 个实数根. 由韦达定理得: $\frac{1}{t}+s=-\frac{99}{19}, \frac{1}{t}\cdot s=\frac{1}{19}$. 所以$\frac{st+4s+1}{t}=s+\frac{1}{t}+4s\cdot \frac{1}{t}=-\frac{99}{19}+\frac{4}{19}=-5$.

每日一题: 2020-05-20

题目: 当$m$ 为整数时, 关于$x$ 的方程$(2m-1)x^2-(2m+1)x+1=0$ 是否有有理根? 如果
有, 求出$m$ 的值; 如果没有, 请说明理由.

参考思路

因为$m$ 为整数, 显然$2m-1\neq 0$, 所以方程$\Delta =(2m+1)^2-4(2m-1)=4m^2-4m+5$. 若方程有有理根, 则$\Delta $ 必须是完全平方数, 设$\Delta =k^2$ 即$(2m-1)^2+4=k^2$. 因此有$4=k^2-(2m-1)^2=(k+2m-1)(k-2m+1)$, 因为整数$a+b$ 与$a-b$ 有相同的奇偶性, 所 以只有$k+2m-1=2, k-2m+1=2$ 或$k+2m-1=-2, k-2m+1=-2$, 无论哪种情况都有$m=\frac{1}{2}$ 矛盾. 所以不存在这样的整数$m$.

每日一题: 2020-05-19

题目: 已知关于$x$ 的方程$a^2x^2-(3a^2-8a)x+2a^2-13a+15=0$ ($a$ 为非负整数)至少
有一个整数根, 求$a$ 的值.

参考思路

当$a=0$ 时, 方程无解, 所以$a\neq 0$. 原方程为: $[ax-(a-5)][ax-(2a-3)]=0\Rightarrow x_1=\frac{a-5}{a}, x_2=\frac{2a-3}{a}$, 因此可得: $x_1=1-\frac{5}{a}, x_2=2-\frac{3}{a}$, 又$a$ 为正整数, 所以$\frac{5}{a}$ 与$\frac{3}{a}$ 至少有一个为整数 所以$a=1,3,5$.

每日一题: 2020-05-18

题目: 设$ab=2(c+d)$, 求证方程$x^2+ax+c=0, x^2+bx+d=0$中至少有一个方程有实数根.

参考思路

因为$\Delta_1=a^2-4c, \Delta_2 =b^2-4d\Rightarrow \Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4(c+d)=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0$. 所以$\Delta_1$ 和$\Delta_2$ 中至少有一个$\geq 0$, 所以至少有一个方程有实数根.

每日一题: 2020-05-17

题目: 关于$x$ 的方程$kx^2-(k-1)x+1=0$ 有有理根, 求整数$k$ 的值.

参考思路

当$k=0$ 时$x=-1$ 符合要求. 当$k\neq 0$ 时, 设$\Delta =(k-1)^2-4k=m^2$ 其中$m$ 为非负有理数,因为$k$ 为整数, 所 以$m$ 比为自然数. \\[ k^2-6k+1=m^2\Rightarrow 8=(k-3)^2-m^2=(k-3+m)(k-3-m) \\] 因为$k-3+m>k-3-m$ 所以可得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} k-3+m=8 \\\\ k-3-m=1 \\end{array}\\right.或 \\left\\{\\begin{array}{lr} k-3+m=4 \\\\ k-3+m=2 \\end{array}\\right. \\]解得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} m=1 \\\\ k=6 \\end{array}\\right.或 \\left\\{\\begin{array}{lr} m=\frac{7}{2} \\\\ k=\frac{15}{2} \\end{array}\\right. \\] 因为$k$ 为整数, 所以$k=6$. 综上可得$k=0$ 或$k=6$.

每日一题: 2020-05-16

题目: 已知$a,b,c$ 是正实数, 且方程$ax^2+bx+c=0$ 有实数根.
求证: $\max (a,b,c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c)$.

参考思路

题目等价于证明: $\max (\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c})\geq \frac{4}{9}$. 所以不妨设$a+b+c=1$, 否则用$\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c}$ 代替$a,b,c$. (1) 当$b\geq \frac{4}{9}$, 则问题得证. (2) 当$0\lt b\lt \frac{4}{9}$ 时, 可得$a+c=1-b > \frac{5}{9}$. (i) 当$a\geq \frac{4}{9}$ 时, 则问题得证. (ii) 当$0\lt a\lt \frac{4}{9}$ 时 \\[ \Delta=b^2-4ac\geq 0\Rightarrow 4(\frac{5}{9}-c)\cdot c\leq 4ac\leq b^2\lt (\frac{4}{9})^2 \\] 即$c^2-\frac{5}{9}c+\frac{4}{81}>0\Rightarrow c\lt \frac{1}{9}$ 或$c>\frac{4}{9}$. 当$c\lt \frac{1}{9}$ 时, 又因为$a\lt\frac{4}{9}$与$a+c> \frac{5}{9}$ 矛盾!, 因此只能有$c>\frac{4}{9}$, 问题得证.

每日一题: 2020-05-15

题目: 若$a,b,c,d$ 都是实数, 且

$$a^2d^2+b^2(d^2+1)+c^2+2bd(a+c)=0$$

求证: $b^2=ac$.

参考思路

方法一: 由已知得 \\[ 原式=a^2d^2+b^2d^2+b^2+c^2+2bda+2bdc=(ad+b)^2+(bd+c)^2=0 \\] 所以可得$ad+b=0,bd+c=0$, 当$a=0$ 时$b=0$, 要证成立. 当$a\neq 0$ 时, $d=-\frac{b}{a}$ 代入$bd+c=0$ 可得$b^2=ac$. 方法二: 由已知得 \\[ (a^2+b^2)d^2+(2ab+2bc)d+(b^2+c^2)=0 \\] 所以$d$ 为方程$(a^2+b^2)x^2+(2ab+2bc)x+(b^2+c^2)=0$ 的实数根, 当$a^2+b^2=0$ 时证明显然成立, 当$a^2+b^2\neq 0$ 时有: \\[ \Delta =(2ab+2bc)^2-4(a^2+b^2)(b^2+c^2)\geq 0\Rightarrow -4(b^2-ac)^2\geq 0\Rightarrow b^2=ac \\]

每日一题: 2020-05-14

题目: 已知实数$x,y$ 满足$x^2-2x-4y=5$, 记$t=x-2y$, 求$t$ 的取值范围.

参考思路

将$2y=x-t$ 代入$x^2-2x-4y-5=0\Rightarrow x^2-4x+2t-5=0$ 因为$x$ 是实数,则关于 $x$ 的方程有实数解, 所以$\Delta =b^2-4ac=16-4(2t-t)\geq 0\Rightarrow t\leq \frac{9}{2}$.

每日一题: 2020-05-13

题目: 已知关于$x$ 的方程$mx^2+nx+p=0$ (其中$m,n,p$ 为有理数且$m\neq 0$ ), 它的
一个根是$a+\sqrt{b}$ ($a,b$ 均为有理数, 且$b$ 不是某有理数的平方).
求证: $a-\sqrt{b}$ 也是方程的一个根.

参考思路

因为$a+\sqrt{b}$ 是方程的根, 所以有$m(a+\sqrt{b})^2+n(a+\sqrt{b})+p=0\Rightarrow m(a^2+b+2a\sqrt{b})+na+n\sqrt{b}+p=0$. 化简可得: \\[ (ma^2+mb+na+p)+(2ma+n)\sqrt{b}=0 \\] 由于$ma^2+mb+na+p$ 与$2ma+n$ 为有理数, $\sqrt{b}$ 为无理数, 所以有 \\[ ma+mb+na+p=0, 2ma+n=0 \\] 当$x=a-\sqrt{b}$ 时, 代入 $$mx^2+nx+p=m(a-\sqrt{b})^2+n(a-\sqrt{b})+p=(ma^2+mb+na+p)-(2ma+n)\sqrt{b}=0$$. 所以$x=a-\sqrt{b}$ 也是原方程的根.

每日一题: 2020-05-12

题目: 已知$2+\sqrt{3}$ 是一元二次方程$x^2-4x+c=0$ 的一个根, 求方程的另一个根及$c$ 的值.

参考思路

将$2+\sqrt{3}$ 代入得$-(2+\sqrt{3})^2+4(2+\sqrt{3})=c\Rightarrow c=1$. 所以原 方程为:$x^2-4x=-1\Rightarrow x^2-4x+4=3\Rightarrow (x-2)^2=\pm 3\Rightarrow x_1=2+\sqrt{3}, x_2=2-\sqrt{3}$. 故另一个根为$2-\sqrt{3}$.