每日一题: 2020-09-28
题目: 设$x,y,z$ 是任意实数, 证明恒等式
其中$\max(x,y,z)$ 表示$x,y,z$ 的最大值.
每日一题：2020-09-27
每日一题: 2020-09-27
题目: 已知实数$a,b,c,d$ 互不相等, 且$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{a}=x$, 求$x$ 的值.
参考思路
由题设有$a+\frac{1}{b}=x$, $b+\frac{1}{c}=x$, $c+\frac{1}{d}=x$,$d+\frac{1}{a}=x$, 得$b=\frac{1}{x-a}$, 代入$b+\frac{1}{c}=x\Rightarrow c=\frac{x-a}{x^2-ax-1}$ 再代 入$c+\frac{1}{d}=x\Rightarrow dx^3+(ad+1)x^2-(2d-a)x+ad+1=0$ 由$d+\frac{1}{a}=x\Rightarrow ad+1=ax$ 代入上式得$(d-a)(x^3-2x)=0\Rightarrow x(x^2-2)=0$. 若$x=0$, 则$c=\frac{-a}{-1}=a$, 与条件结论矛盾, 所以$x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$.每日一题：2020-09-26
每日一题: 2020-09-26
题目: 若关于$x$ 的方程$|1-x|=mx$ 有解, 则实数$m$ 的取值范围是?
参考思路
$m\lt -1$ 或$m\geq 0$. 当$x\lt 1$ 时, $1-x=mx, (m+1)x=1\Rightarrow x=\frac{1}{m+1}$. 所以$ \frac{1}{m+1}\lt 1, \frac{m}{m+1}\gt 0$. 解得$m>0$ 或$m\lt -1$; 当$x\geq 1$ 时, $x-1=mx, (1-m)x=1\Rightarrow x=\frac{1}{m}$, 所以 $\frac{1}{1-m}\geq 1$. 解得 $0\leq m\lt 1$. 而当$m=0$ 时, 方程显然有解. 故$m$ 的取值范围是$m\lt -1$ 或$m\geq 0$.每日一题：2020-09-25
每日一题: 2020-09-25
题目: 实数$a,b$ 使得关于$x,y$ 的方程组
有实数解$(x,y)$.
(1) 求证: $|y|\geq 2$;
(2) 求$a^2+b^2$ 的最小值.
参考思路
(1) 由方程知$x\neq 0$ 且$y=x+\frac{1}{x}$, 所以, 当$x\gt 0$ 时, $y\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$, 当$x\lt 0$ 时, $y=-(-x+\frac{1}{-x})\leq -2$. 故有$|y|\geq 2$. (2) 将$x^2=xy-1$ 代入$xy^2+ax^2+bx+a=0$ 得$x(y^2+ay+b)=0\Rightarrow y^2+ay+b=0$. 因为方程组有实数解, 所以方程$y^2+ay+b=0$ 在$y\leq -2$ 或$y\geq 2$ 的范围内至少有一个实根. (i) 当$|a|\leq 4$ 时, 有 $$ \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}\leq -2 或 \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\geq 2 $$ 所以$\sqrt{a^2-4b}\geq 4-a$ 或$\sqrt{a^2-4b}\geq 4+a$ 即$2a\geq b+4$, 或$2a\leq -(b+4)$, 若$b+4\geq 0$, 即$b\geq -4$ 时, $|2a|\geq b+4$, 由此得 $$ a^2\geq \frac{b^2}{4}+2b+4\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{5}{4}b^2+2b+4=\frac{5}{4}(b+\frac{4}{5})^2+\frac{16}{5}. $$ 当$b=-\frac{4}{5}$ 时, 上述不等式等号成立, 此时$a=\pm \frac{8}{5}$. 若$b+4<0$ 即$b<-4$ 时, 对于满足$2a\geq b+4$ 或$2a\leq -(b+4)$ 的任意实数$a$, 均有$a^2+b^2>\frac{16}{5}$. (ii) 当$|a|>4$ 时, 则$a^2+b^2>\frac{16}{5}$. 综上, $a^2+b^2$ 的最小值为$\frac{16}{5}$.每日一题：2020-09-24
每日一题: 2020-09-24
题目: $[x]$ 表示不超过实数$x$ 的最大整数, 令{$x$}=$x-[x]$.
(1) 找出一个实数 $x$, 满足{$x$}+{$\frac{1}{x}$}=$1$;
(2) 证明: 满足上述等式的$x$, 都不是有理数.
参考思路
(1) 取$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, 则$\frac{1}{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, 于是{$x$}=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, {$\frac{1}{x}$}=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. 所以有: {$x$}+{$\frac{1}{x}$}=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$. (2) 设$x=m+\alpha, \frac{1}{x}=n+\beta$, 其中$m,n$ 是整数, $0\leq \alpha,\beta<1$. 则$\alpha+\beta=1, x+\frac{1}{x}=m+n+1$ 于是有: $x^2-(m+n+1)x+1=0$. 得$x=\frac{1}{2}(m+n+1\pm \sqrt{(m+n+1)^2-4})$ 当$(m+n+1)^2=4$ 时, $x=\pm 1$, 均不满足要求. 当$(m+n+1)^2>4$ 时, 若$(m+n+1)^2-4=k^2$, (其中$k$ 为正整数), 则 $(m+n+1-k)(m+n+1+k)=4$, 由于$m+n+1-k\lt m+n+1+k$, 且他们同奇偶, 所以 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} m+n+1-k=-2 \\\\ m+n+1+k=-2 \\end{array}\\right. 或 \\left\\{\\begin{array}{lr} m+n+1-k=2 \\\\ m+n+1+k=2 \\end{array}\\right. \\] 均不能成立, 故$(m+n+1)^2-4$ 不是完全平方数, 从而$x$ 是无理数.每日一题：2020-09-23
每日一题: 2020-09-23
题目: 设$a,b$ 及$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 都是整数, 证明: $\sqrt{a}$ 及$\sqrt{b}$ 都是整数.
参考思路
先证一个引理: 若$n$ 是正整数, 且$\sqrt{n}$ 是有理数, 则$n$ 是完全平方数. 设$\sqrt{n}=\frac{p}{q}, p,q$ 为互质的正整数, 则$nq^2=p^2$. 从而$q^2\mid p^2\Rightarrow q\mid p\Rightarrow q=1$, 所以$n=p^2$. 引理得证. 回到本题, 由题设知$a,b$ 为非负整数, 当$a=0$ 或$b=0$ 时, 易知结论成立. 当$a,b$ 都是正整数时, 由$\sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{a}$ 两边平方,得 $b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+a\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$ 由题设知, $\sqrt{a}$ 是有理数, 结合引理, $a$ 是完全平方数, 故$\sqrt{a}$ 是整数. 同理$\sqrt{b}$ 也是整数.每日一题：2020-09-22
每日一题: 2020-09-22
题目: 设实数$a,b$ 满足: $3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0$. 求$u=9a^2+72b+2$ 的最小值.
参考思路
因为$3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=(a-2b)(3a-4b+5)=0\Rightarrow a-2b=0$ 或$3a-4b+5=0$. (1) 当$a-2b=0$ 时, $u=9a^2+72b+2=36b^2+72b+2=36(b+1)^2-34$. 当$b=-1$ 时, $u$ 的最小值为$-34$, 此时实数队$(a,b)=(-2,-1)$. (2) 当$3a-4b+5=0$ 时, $u=9a^2+72b+2=16b^2+32b+27=16(b+1)^2+11$, 当$b=-1$ 时, $u$ 的最小值为$11$, 此时实数队$(a,b)=(-3,-1)$. 综上可知, $u$ 的最小值为$-34$.每日一题：2020-09-21
每日一题: 2020-09-21
题目: 若两个不同的实数$a,b$ 使得$a^2+b$ 和$a+b^2$ 都是有理数, 则称数队$(a,b)$ 是”和谐”的.
(1) 找出一对无理数$a,b$, 使得$(a,b)$ 是”和谐”的;
(2) 证明: 若$(a,b)$ 是”和谐”的, 且$a+b$ 是不等于 $1$ 的有理数, 则$a,b$ 都是有理数.
参考思路
(1) $a=\frac{1+\sqrt{2}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ 满足要求, 答案不唯一; (2) 按题设$(a^2+b)-(b^2+a)=(a-b)(a+b-1)$ 为有理数, 记为$q$. $\because a+b-1\neq 0$, 且为有理数, 所以$a-b=\frac{q}{a+b-1}$ 为有理数. 又$a+b$ 为有理数, 所以$a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}$ 为有理数, $b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}$ 为有理数.每日一题：2020-09-20
每日一题: 2020-09-20
阅读: 一般地, 对于正数$a_1,a_2,\ldots,a_n$, 我们把$A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$
称为这$n$ 个数的算术平均数, $G_n=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 称为$a_1,a_2,\ldots,a_n$
的几何平均数. 可以证明有$A_n\geq G_n$. 请证明$n=2,3$ 时的情形.
即对于正数$a,b,c$, 请证明:
(1) $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$;
(2) $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$
参考思路
(1) $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$, 所以$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ 当且仅当$a=b$ 时等号成立. (2) 先证$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$. $a^3+b^3+c^3+abc\geq 2\sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{c^3\cdot abc}=2ab\sqrt{ab}+2c^2\sqrt{ab}$ $\geq 2\cdot 2\sqrt{ab\sqrt{ab}\cdot c^2\sqrt{ab}}=4abc$. 即$a^3+b^3+c^3+abc\geq 4abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3abc$. 当且仅当$a=b=c$ 时号成立. 故有$(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{c})^3\geq 3\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}\cdot \sqrt[3]{c}$ 所以有$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$每日一题：2020-09-19
每日一题: 2020-09-19
题目: 国家原计划以$2400$ 元/吨的价格收购某种农产品$m$ 吨. 按规定, 农户向国家纳税为:
每收入$100$ 元纳税$8$ 元(称作税率为$8$ 个百分点, 即$8\%$). 为了减轻农民负担, 制定积
极的收购政策. 根据市场规律, 税率降低$x$ 个百分点, 收购量能增加$2x$ 个百分点. 试确
定$x$ 的范围, 使税率调低后, 国家此项税收总收入不等于原计划的$78\%$.