每日一题: 2020-05-31
题目: 对于任意实数$k$, 方程$(k^2+1)x^2-2(a+k)^2x+k^2+4k+b=0$ 总有一个根是 $1$,
(1) 求实数$a,b$;
(2) 求另一根的范围.
每日一题：2020-05-30
每日一题: 2020-05-30
题目: 已知方程$x^2+a_1x+a_2a_3=0$ 与方程$x^2+a_2x+a_1a_3=0$ 有且只有一个公共根.
求证: 这两个方程的另外两个根(除公共根外)是方程$x^2+a_3x+a_1a_2=0$ 的根.
参考思路
设公共根为$\alpha$, 代入方程得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \alpha^2+a_1\alpha+a_2a_3=0 \\\\ \alpha^2+a_2\alpha+a_1a_3=0 \\end{array}\\right. \\] 两式相减得: $(a_1-a_2)\alpha+a_3(a_2-a_1)=(a_1-a_2)(\alpha-a_3)=0\Rightarrow a_1=a_2$ 或$\alpha=a_3$. 若$a_1=a_2$ 可得两个方程一样,应有两个公共根, 与只有一个公共根矛盾, 所以$a_1\neq a_2$ 因此有$\alpha=a_3$ 且$a_1\neq a_2$. 因为$a_3$ 是两个方程得公共根, 所以由韦达定理知方程另外两个根一定是$a_2$ 与$a_1$. 再因为$a_2,a_3$ 是方程$x^2+a_1x+a_2a_3=0$ 的两个不等实数根可得$a_2+a_3=-a_1\Rightarrow a_3=-a_1-a_2$. 将$a_3$ 代入方程$x^2+a_3x+a_1a_2=0\Rightarrow x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2=0\Rightarrow (x-a_1)(x-a_2)=0\Rightarrow x_1=a_1,x_2=a_2$. 问题得证.每日一题：2020-05-29
每日一题: 2020-05-29
题目: 设方程$x^2-kx-7=0$ 和$x^2-6x-(k+1)=0$ 有公共根, 试求$k$ 的值.
参考思路
设这两个方程的公共根为$\alpha$, 所以有 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \alpha^2-k\alpha -7=0 \\\\ \alpha^2-6\alpha -(k+1) \\end{array}\\right. \\] 两式相减得: $(6-k)\alpha +(k-6)=0\Rightarrow (\alpha-1)(6-k)=0\Rightarrow \alpha=1$ 或 $k=6$. 由$\alpha=1$ 是方程$x^2-kx-7=0$ 的一 个根知另一个根为$-7\Rightarrow k=-6$; 由$\alpha=1$ 是方程$x^2-6x-(k+1)=0$ 的一个根知另一个根为$5\Rightarrow k=-6$. 经检验知$k=\pm 6$都满足要求.每日一题：2020-05-28
每日一题: 2020-05-28
题目: 设$a$ 与$b$ 为方程$x^2+px+1=0$ 的两个实数根, $c$ 与$d$ 是方程$x^2+qx+1=0$ 的
两个实根.
求证: $(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=q^2-p^2$.
参考思路
由韦达定理, 有$a+b=-p, ab=1, c+d=-q, cd=1$. $\because (a-c)(b-c)=c^2-(a+b)c+ab=c^2+pc+1$. 又$\because c$ 是方程$x^2+qx+q=0$ 的根, $\therefore c^2+qc+1=0\Rightarrow c^2+1=-qc$. 所以有$(a-c)(b-c)=-c(q-p)$. 同样$(a+d)(b+d)=d^2+(a+b)d+ab=d^2-pd+1=-qd-pd=-d(q+p)$ $\therefore (a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=cd(q^2-p^2)=q^2-p^2$.每日一题：2020-05-27
每日一题: 2020-05-27
题目: 若$x=1$ 时, 代数式$ax^2+bx+c$ 的值小于零, 求证方程$ax^2+bx+c=0\ (a>0)$ 的一
根大于$1$, 另一根小于$1$.
参考思路
设方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$ 的两根分别为$x_1,x_2$, 则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1x_2=\frac{c}{a}$. 所以$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+1=\frac{a+b+c}{a}$. 因为当$x=1$ 时, $ax^2+bx+c\lt 0$, 即$a+b+c\lt 0$, 又$a\gt 0$ 所以$ \frac{a+b+c}{a}\lt 0$, 即$(x_1-1)(x_2-1)\lt 0$. 因此方程$ax^2+bx+c=0 (a\gt 0)$ 一根大于$1$, 另一根小于$1$.每日一题：2020-05-26
每日一题: 2020-05-26
题目: $a$ 为何值时, 方程$x^2+2ax+2a^2-1=0$ 至少有一个正根?
参考思路
(1) 若方程两根都是整数, 则 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} \Delta \geq 0 \\\\ x_1+x_2>0 \\\\ x_1x_2>0 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} -1\leq a\leq 1 \\\\ a\lt 0 \\\\ a>\frac{\sqrt{2}}{2} 或 a\lt -\frac{\sqrt{2}}{2} \\end{array}\\right. \\] 所以可得: $-1\leq a\lt -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) 若两根一正一负, 则$x_1x_2<0\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\lt a\lt \frac{\sqrt{2}}{2}$. (3) 若两根一正一零, 则 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} x_1+x_2>0 \\\\ x_1x_2=0 \\end{array}\\right.\Rightarrow a=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\] 合并(1)(2)(3)得: $-1\leq a\lt \frac{\sqrt{2}}{2}$.每日一题：2020-05-25
每日一题: 2020-05-25
题目:
已知二次方程$kx^2+(2k-3)x+k-10=0$ 的两根皆为负数, 求$k$ 的取值范围.
参考思路
设此方程两实数根为$x_1,x_2$. 因为方程两根皆为负数 \\[ \therefore \\left\\{\\begin{array}{lr} k\neq 0 \\\\ \Delta \geq 0 \\\\ x_1+x_2\lt 0 \\\\ x_1x_2\gt 0 \\end{array}\\right.\Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} k\neq 0 \\\\ (2k-3)^2-4k(k-1)\geq 0 \\\\ \frac{2k-3}{k}\gt 0 \\\\ \frac{k-10}{k}\gt 0 \\end{array}\\right. \Rightarrow \\left\\{\\begin{array}{lr} k\neq 0 \\\\ k\geq -\frac{9}{28}\\\\ k>\frac{3}{2} 或 k\lt 0 \\\\ k\gt 10 或 k\lt 0 \\end{array}\\right. \\] 所以$-\frac{9}{28}\leq k<0$ 或$k\gt 10$.每日一题：2020-05-24
每日一题: 2020-05-24
题目: 设实数$a,b$ 满足$a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40$, $a(b+1)+b=8$.
求$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ 的值.
参考思路
由已知得: $ab+a+b=8, a^2b^2+(a+b)^2=40\Rightarrow ab(a+b)=12$, 所以$ab,a+b$ 为关于 $t$ 的二次方程$t^2-8t+12=0$ 的两个实数根, 因此有 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} ab=2 \\\\ a+b=6 \\end{array}\\right. 或\\left\\{\\begin{array}{lr} ab=6 \\\\ a+b=2 \\end{array}\\right. \\] 当$ab=6, a+b=2$ 时, 知$a,b$ 为关于$x$ 的二次方程$x^2-2x+6=0$ 的两个实数根, 但此时 方程$\Delta =4-24=-20\lt 0$ 方程无实数解, 所以舍去, 故有$ ab=2, a+b=6$. \\[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{36-4}{4}=8 \\]每日一题：2020-05-23
每日一题: 2020-05-23
题目: 求所有的实数$k$, 使关于$x$ 的二次方程$kx^2+(k+1)x+(k-1)=0$的两根都是整数.
参考思路
设方程两根为$x_1,x_2$, 根据韦达定理有 \\[ x_1+x_2=-\frac{k+1}{k}=-1-\frac{1}{k}; x_1\cdot x_2=\frac{k+1}{k}=1-\frac{1}{k} \\] 所以有$x_1x_2-(x_1+x_2)=2\Rightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=3\Rightarrow (x_1-1)(x_2-1)=3$. 因此得 \\[ \\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=1 \\\\ x_2-1=3 \\end{array}\\right. 或\\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=3 \\\\ x_2-1=1 \\end{array}\\right. 或 \\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=-1 \\\\ x_2-1=-3 \\end{array}\\right. 或\\left\\{\\begin{array}{lr} x_1-1=-3 \\\\ x_2-1=-1 \\end{array}\\right. \\] 可以解得$k=-\frac{1}{7}$ 或$k=1$. 将$k$ 代入$\Delta=(k+1)^2-4k(k-1)$ 检验知$k=1$ 或$k=-\frac{1}{7}$ 满足要求.每日一题：2020-05-22
每日一题: 2020-05-22
题目: 若关于$x$ 的一元二次方程$3x^2+3(a+b)x+4ab=0$ 的两根$x_1,x_2$ 满足关系式
$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$, 试判断$(a+b)^2\leq 4$ 是否正确, 若正确, 加
以证明; 若不正确, 请举一反例.