每日一题: 2020-10-08
题目: 已知直角三角形$\triangle ABC$ 的周长为$14$, 面积为$7$, 试求它的三边长.
每日一题：2020-10-06
每日一题: 2020-10-06
题目: 若$a$ 与$b$ 是方程$x^4+x^3=1$ 的两个相异的根, 试证: $ab$ 是方程$x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$ 的根.
参考思路
由已知得: $a^4+a^3=1, b^4+b^3=1$, 令$p=a+b,q=ab$, 将两式相乘得: $(a^4+a^3)(b^4+b^3)=1\Rightarrow q^3(q+p+1)=1\Rightarrow p=\frac{1-q^3-q^4}{q^3}$. 将两式相减得: $(a^4+a^3)-(b^4+b^3)=(a^4-b^4)+(a^3-b^3)=0$, 因为$a\neq b$, 所以有: $(a^2+b^2)(a+b)+(a^2+ab+b^2)=0\Rightarrow (a^3+a^2)+(b^3+b^2)+ab(a+b+1)=0$ 因为$a^3+a^2=\frac{1}{a}, b^3+b^2=\frac{1}{b}$,所以上式得: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab(a+b+1)=0$ 所以有$p=\frac{-q^2}{1+q^2}$, 所以有$\frac{1-q^3-q^4}{q^3}=\frac{-q^2}{1+q^2}\Rightarrow q^6+q^4+q^3-q^2-1=0$ 故$q=ab$ 是方程$x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$ 的根.每日一题：2020-10-05
每日一题: 2020-10-05
题目: 设方程$|x^2+ax|=4$ 只有$3$ 个不相等的实数根, 求$a$ 的值和相应的$3$ 个根.
参考思路
方程$|x^2+ax|=4\Leftrightarrow x^2+ax-4=0 $ 及$x^2+ax+4=0$. 设$x_0$ 是方程$x^2+ax-4=0$ 的根, 则$x_0^2+ax_0+4=(x_0^2+ax_0-4)+4+4=8\neq 0$ 所以这两个方程没有公共根. 由于只有$3$ 个不相等的实数根, 故必有且只有一个方程有两个相等的实数根. $\Delta_1=a^2+16, \Delta_2=a^2-16$, 所以只可能$\Delta_2=0\Rightarrow a=\pm 4$ 当$a=4$ 时,方程$x^2+ax+4=0$ 的根为$-2$, 方程$x^2+ax-4=0$ 的根为$-2\pm 2\sqrt{2}$; 当$a=-4$ 时, 方程$x^2+ax+4=0$ 的根我$2$, 方程$x^2+ax-4=0$ 的根问$2\pm 2\sqrt{2}$. 综上, $a=4$ 时的$3$ 个根为$-2,-2\pm 2\sqrt{2}$; $a=-4$时的$3$ 个根为$2,2\pm 2\sqrt{2}$.每日一题：2020-10-03
每日一题: 2020-10-03
题目: 如图, 在平面直角坐标系中, $O$ 是原点, $A,B$ 的坐标分别为$A(-8,0),B(0,4)$.
(1) 点$E$ 在$y$ 轴负半轴上, 直线$EC\bot AB$, 交线段$AB$ 于点$C$, 交$x$ 轴于点$D$.$S_{\triangle DOE}=16$
点$F$ 是直线$CE$ 上一点, 分别过点$E,F$ 作$x$ 轴和$y$ 轴的平行线交于点$G$, 将$\triangle EFG$
沿$EF$ 折叠, 使点$G$ 的对应点落在坐标轴上, 求点$F$ 的坐标.
(2) 在(1)的条件下, 点$M$ 是$DO$ 的中点, 点$N,P,Q$ 在直线$BD$ 或$y$ 轴上, 是否存在
点$P$, 使四边形$MNPQ$ 是矩形? 若存在, 请画出示意图并直接写出点$P$ 的坐标; 若不存在
, 请说明理由.
每日一题：2020-09-30
每日一题: 2020-09-30
题目: $x,y,z$ 为正实数, 且满足$xyz=1,x+\frac{1}{z}=5,y+\frac{1}{x}=29$, 求$z+\frac{1}{y}$ 的值.