每日一题 2026-04-25

求证：，其中 。（注：角度为弧度制）

参考解答

解析 设 ，则 。 由复数模的不等式，有 右端等于 利用等比数列求和公式： 取模得 注意到 ，且 ，所以 关键解释：利用了 的性质，以及 的放缩技巧。 答案：

题目

设 为复数，且 ，证明：。

参考证明

分析 首先注意到 ，因此只需证明 。 详解 第一步：变量代换 设 ，其中 ，。则 第二步：计算模长的平方 由于 ，故 ，，于是 即 。 第三步：得到结论 命题得证。

题目

已知 ，则（ ）

• A. 存在实数解
• B. 共有 20 个不同的复数解
• C. 的复数解的模长都等于 1
• D. 存在模长大于 1 的复数解

参考解答

答案：BC 解析 设 ，利用换元法可求得 ，从而可判断 的 20 个复数解的模都是 1。 详解 第一步：换元 设 ，由 得 第二步：代入原方程 第三步：解关于 的方程 解得 第四步：验证 的范围 这两个解都在区间 内。 第五步：回代求 由 ，整理得 由求根公式得 第六步：确定解的个数 - 每个 值对应 2 个 的解 - 每个 对应 5 个不同的 （5 次单位根） 故共有 个不同的复数解。 第七步：计算模长 当 时，由于 ，有 故 ，即 。 结论 - A 错误：无实数解（ 为纯虚数形式的非实复数） - B 正确：共有 20 个不同的复数解 - C 正确：所有复数解的模长都等于 1 - D 错误：不存在模长大于 1 的复数解 答案：BC

每日一题 2026-04-22

已知关于 的方程 有两个复数根 。

1. 若 ，求 的取值范围；
2. 若 ，求 的值。

参考解答

解析 已知 ，则 。 **(1) 若 ：** - 若 ，根为实数，虚部为 ，不满足 。 - 若 ，根为虚数，由求根公式得： - 由 可知，，。 - 建立不等式组： **(2) 若 ：** **i) 当 ，即 时**，由韦达定理知： ，。 - 若 ，两根异号，。 由 或 （因 ，故舍去 ）。 - 若 ，两根同号为负，。 由 ，矛盾，舍去。 **ii) 当 ，即 时**， 与 是共轭虚数，则 。 结合 ，得 。 。 答案：

题目

已知复数 满足：

$$|z_1+z_2| = 5, \quad |z_1-z_2| = 5\sqrt{3}, \quad \arg\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} = 90°$$

求 的值。

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参考解答

解析： 第一步：由辐角条件得比例关系 由 ，得： 第二步：利用模长求 所以 ，即： 第三步：整理求 记 ，则： 其中 是三次单位根，满足： 第四步：求 和 由 及 ： 所以 ，进而 。 第五步：计算 和 第六步：计算目标表达式 由于 ，计算指数模 3： 所以： 第七步：求最终答案 答案：

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核心考点：

• 复数的辐角与三角形式
• 三次单位根 的性质（，）
• 指数模 3 化简
• 对数运算

关键技巧：

1. 辐角 90° → 纯虚数比
2. 构造三次单位根简化计算
3. 利用

题目

已知在复数集中，等式

$$x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)$$

对任意复数 恒成立，复数 、、、 在复平面上对应的 个点为某个单位圆内接正方形的 个顶点。已知

$$\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset\{n\mid 1\leq n\leq 2024,\;n\in\mathbb{Z}\},$$

则满足条件的不同集合 ${a0,a1,a2,a3}$ 个数为 __。

参考解答

解析： 由实系数一元二次方程，复数根互为共轭复数根；一元四次方程可以分解为两个一元二次方程。因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），故圆心在 轴上。据此分类讨论可求得结论。 详解： 将右边展开： 对比系数可得： 注意：题目中 是 的系数（即 ），故应将上面 互换记号。下取标准 Vieta 写法： 复数 、、、 在复平面上对应的 个点为某个单位圆内接正方形的 个顶点，圆心在 轴上，设圆心为 。 情形 1：四个根两两互为共轭复数。不妨设： 计算 ： 类似计算可得： 因为 ，所以 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 ，此时集合 的个数为 个。 情形 2：四个根有 个为实数，另外 个为共轭复数。设圆心为 ，不妨设： 计算可得： 因为 ，所以 只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得 ，此时集合 的个数为 个。 综上：满足条件的不同集合 的个数为 答案：

题目

已知 个两两互不相等的复数

$$z_1,\;z_2,\;\dots,\;z_k,\;w_1,\;w_2$$

满足

$$\overline{w_1}-\overline{w_2}=\dfrac{4}{w_1-w_2},$$

且

$$|w_j-z_a|\in\{1,3\}\quad(j=1,2;\;a=0,1,2,\dots,k),$$

则 的最大值为 __。

参考解答

解析： 由 ，两边同乘 ，得 即 ，故 。 设 、 对应平面内的点 、，则 。 因为 （）， 所以点 到点 、 的距离分别为 或 。 以 、 为圆心，半径分别为 和 作圆，则点 必在这些圆的交点上。 由图可知，两圆相交最多有 个交点，再加上 、 两点本身，以及两圆外切或内切时的特殊点，构成了点 、、、、 共 个点。 故 的最大值为 。 答案：