设四边形 四边的长 ，，， 一定，求证：只有当它内接于圆时才有最大面积。

参考解答

析 本题为四边形面积最值问题，采用代数法证明。将四边形分割为两个三角形，利用面积公式和余弦定理建立关系，通过平方相加消去角度变量，分析最值条件。关键结论：当对角互补时面积最大，此时四边形内接于圆。 证明： 设 ，，，，，，则四边形 的面积为： 由余弦定理有： 两式相减得： 由 (1) 得： (2)、(3) 平方相加，得： 即： 由于 ，，， 均为定值，故当 时， 达到最大值。此时 ，它表明四边形 对角互补，故内接于圆。 【点评】 本题用代数法证明四边形面积最值问题，关键步骤：(1) 分割四边形为两个三角形；(2) 用面积公式表示总面积；(3) 对公共对角线用余弦定理建立等式；(4) 平方相加消去角度变量；(5) 分析 的最值条件。此题体现了代数变形的技巧，结论优美：四边形四边固定时，内接于圆时面积最大。此结论可推广到 边形。 拓展思考： 1. 能否用几何法（如调整法）证明此结论？ 2. 圆内接四边形的面积公式（Brahmagupta 公式）是什么？如何推导？ 3. 对于 边形，当各边长固定时，何时面积最大？

题目

在 中，求证：

$$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C$$

参考解答

析：本题为三角形中的三角恒等式证明，可采用几何法。构造 的外接圆，利用圆心角与圆周角的关系，结合面积分割法进行证明。需注意分类讨论锐角三角形与钝角三角形两种情形。 解： 情形一：当 均为锐角时 作 的外接圆 ，设外接圆半径为 。 由圆心角与圆周角的关系： 的面积等于三个小三角形面积之和： 由三角形面积公式 及 （ 为两边夹角）： 由正弦定理 ，，代入左边： 化简得： 两边同除以 ： 情形二：当 其中一个为钝角时 不妨设 为钝角，则 （优弧对应的圆心角）。 此时 的面积关系为： 或用有向面积表示，证明过程类似，结论仍然成立。 综上，原等式得证 【点评】本题用几何法证明三角恒等式，关键步骤：(1) 构造外接圆，利用圆心角与圆周角的关系；(2) 面积分割，将 分割为三个以 为顶点的小三角形；(3) 灵活运用面积公式 和 ；(4) 正弦定理将边长用 和角表示；(5) 分类讨论锐角与钝角情形。此题体现了数形结合思想的妙用。 拓展思考： 1. 能否用纯代数方法（三角恒等变换）证明此结论？ 2. 若 为直角三角形，等式是否仍成立？ 3. 此恒等式有哪些变形或推广？

已知锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，且

$$\left(b^2 - c^2\right) \cdot \sin B = 2S$$

若 ，则 的取值范围是（ ）

• A.
• B.
• C.
• D.

参考解答

解析： 由三角形面积公式 ，代入已知条件得： 由于 ，两边约去 得： 由余弦定理 ，代入上式： 化简得：，即 由正弦定理 ，上式化为： 由于 ，故 ，代入得： 展开 ： 由 ，且 均为锐角，得： 因此： 利用三倍角公式展开： 由于 为锐角三角形，且 ，需满足： 解得： 故 ，即 因此 答案：

题目

在锐角 中，内角 ，， 所对边分别是 ，，，若 ，，则 的取值范围是__。

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参考解答

点击展开参考解答

解析： 由正弦定理得： 可得： 因为 ，且 为锐角三角形，所以： 于是： 又 ，所以 。 当 时， 取最大值 ，此时： 当 或 时，，此时： 答案：

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解题小结

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数求取值范围的方法。关键步骤：

1. 利用正弦定理将边长 用角 表示
2. 利用锐角三角形条件确定角 的取值范围
3. 三角恒等变换将 化为单一三角函数形式
4. 根据角的范围确定三角函数的最值

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拓展思考

若将条件”锐角三角形”改为”三角形”，则 的取值范围会如何变化？

每日一题 2026-04-11

已知 的边 ，且 ，则 的面积的最大值为 _。

参考解答

解析 由已知 ，切化弦得： 通分整理： 即： ， 由正弦定理 ，且 ，得： ……① 三角形面积： 由①式 可知 ，又 ， 当 ，即 时，，面积取最大值： 答案：

每日一题 2026-04-10

已知 的外心为 ，，。则 的最大值为 _。

参考解答

解析 设 的外心为 ，、 分别为 在边 、 上的投影。 第一步：向量转换 由向量运算： 利用外心性质（、 为弦的中点），得： 第二步：利用已知条件 由题意： 整理得： 由向量关系可得 ，代入： 根据射影定理 ，代入得： 故 。 第三步：求最大值 由余弦定理： 由均值不等式： 即 。 已知 ，故 。 因此： 答案：

每日一题 2026-04-09

在 △ABC 中，，，则 的最大值为 。

参考解答

解析 由 ，D、E 为 BC 的三等分点。 第一步：向量分点公式 第二步：代入向量等式 第三步：用余弦定理 由余弦定理 ，代入得： 第四步：求 令 ，则： 由均值不等式： 当 ，即 时取等号。 第五步：求 最大值 答案：

在锐角三角形 中，已知：

$$2 \sin^2 A + \sin^2 B = 2 \sin^2 C$$

求 的最小值。

参考解答

析 利用正弦定理将边长关系转化为正弦关系，再通过余弦定理建立角之间的比例关系，求出 ，最后利用正切恒等式消元并用基本不等式求最值。 解 **第一步：正弦定理转化** 由 得 。 **第二步：余弦定理建立角的关系** 由 ，代入余弦定理： 利用正弦定理 ，得 。 **第三步：三角变换求 ** 由 代入并整理得 。 **第四步：三角形正切恒等式** 在三角形中 ，代入 得 。 **第五步：代入目标表达式** **第六步：AM-GM 不等式** 当且仅当 时取等。 【点评】 处理三角形中涉及正切的多元最值问题，常用正切恒等式 进行消元。关键在于边角互化——通过正弦定理和余弦定理建立边与角之间的关系。 答案：