题目

已知正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，满足 ，点 在棱 上（点 不与 两点重合），若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的长度的取值范围是 。

参考解答

解析： Step 1：推导已知线段长度，建立 与 的关系 正方体棱长为 ，因此侧棱 。 由条件 ，且 ，代入可得： 因为 在棱 上，正方体的棱互相垂直，因此 ， 为直角三角形，由勾股定理可得： 因此只需要确定符合「截面为五边形」条件的 的取值范围，即可推导出 的取值范围。 Step 2：分析截面形状的临界条件 平面截正方体的截面边数，等于平面与正方体的面的交线数量：交线数为 则截面为四边形，交线数为 则截面为五边形。 首先分析临界分界情况： 当 时，，由平行线分线段成比例可知 ； 又因为正方体中 ，因此 ，此时点 在平面 上，平面 与正方体的 个面相交，截面为四边形 ，不符合五边形要求。 接下来分区间讨论 的取值： 1. 当 时：过 作 的平行线，该平行线会与棱 的线段内部交于点 ，此时平面 仅与正方体的 个面相交，截面为四边形 ，仍然不符合五边形要求。 2. 当 时：过 作 的平行线，该平行线会与 的延长线交于点 ，同时该直线与棱 交于点 ；连接 ， 会与棱 交于点 。此时平面 与正方体的 个面相交，截面为五边形 ，符合截面为五边形的要求。 Step 3：推导 的取值范围 由上述分析，截面为五边形时 的取值范围是 。 将其代入 ： 因为 ，所以 ，因此 ，对不等式开平方可得： 注：两个端点均取不到： - 若 ，则 与 重合，违反「 异于 」的条件； - 若 ，截面为四边形，不符合要求。 答案：

题目

金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔。如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成部分（用数字作答）。

参考解答

解析： 本题考察空间平面的分割问题。关键在于将正四棱锥的四个侧面看作四个空间平面，分析它们能产生的最大分割数。 步骤一：基础模型——无上顶正方体的分割 假想一个没有上顶的正方体（即四个侧面和底面），这5个平面将空间分成 块。 步骤二：四个侧面的极限倾斜分析 将正四棱锥的四个侧面无限延伸为四个空间平面。当四个侧面绕底面四边向外倾斜至极限位置时，这四个平面在顶点以下（不含底面）的"水平范围"内最多能将空间分割成 个区域。 步骤三：顶点以上的对称分割 同理，四个侧面向上延伸的平面在顶点以上的空间中同样能分割出 个区域，形成上下对称的"双四棱锥"结构。 步骤四：重复区域的扣除 但上下两组 个区域中，有 个区域是重叠的（对应九宫格中标记"×"的位置）。 因此，总的空间分割数为： 答案：

题目

在母线与底面所成角为 的圆锥内放入三个半径为 的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切。

（1）求圆锥的底面半径；

（2）若再放入一个半径为 的小球，使得它与三个大球均相切，且与圆锥的侧面相切，求 。

参考解答

解析： 设圆锥底面圆心为 ，顶点为 ，底面半径为 ，高为 。三个大球球心分别记为 ，小球球心记为 。 由母线与底面成角 ，得 ，过轴的截面为边长为 的等边三角形。 （1）求 。 取过圆锥轴及大球球心 的截面。单位圆与底边和腰都相切。设右侧底角为 ，则球心 在 的角平分线上。 到底边的距离为 ，在直角三角形中 ，得 。因此球心 到圆锥轴的距离为 。 另一方面，过 且平行于底面的平面与轴交于点 。三球两两相切，故 ， 是边长为 的正三角形， 为其外心。因此 。 于是 ，解得 。 （2）求 。 由对称性，小球球心 在圆锥轴上。截面内小球与两腰相切，圆锥顶角为 ，故 ，得 。 圆锥高 ，故 到底面的距离为 。 大球 与小球相切：。球心 到轴的距离为 ，到底面的距离为 。因此 与 的竖直距离为 。由勾股定理： 代入 ： 化简得 ，解得 。由 ，取 。 答案：（1）；（2）。

题目

如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为 。若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为 。

参考解答

解析： 设四分之一球的半径为 ，最大正方体棱长为 。 正方体放入时，一条棱的中点在球心处，正方体的底面与四分之一球的一个平面重合。正方体底面的对角线长为 ，由勾股定理， 得 ，即 若正四面体可在盒内以任意角度旋转，则正四面体的外接球应能放入该储物盒内。设储物盒内能放入的最大球半径为 。 取垂直于四分之一球两个平面交线的截面，得四分之一圆及其内切圆。内切圆圆心 在角平分线上，。又该内切圆与圆弧相切，故 解得 设正四面体的最大棱长为 ，其外接球半径为 。令 化简：，故 。于是 答案：

题目

如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面积之和为 ．

参考解答

解析： 设正四面体 棱长为 ，高为 ，最大球（内切球）半径为 ． 正四面体的高： 正四面体内切球半径等于高的 ： 考虑靠近顶点 处的角部：过与最大球相切且平行于底面 的平面，与侧棱围成一个小正四面体．由于各面到最大球球心的距离均为 ，且角部小正四面体与原正四面体相似，其高为原高的一半： 中等球即为此小正四面体的内切球，半径为： 同理，最小球所在的小正四面体高为： 九个球的构成为： - 最大球 个，半径 - 中等球 个（靠近四个顶点），半径 - 最小球 个（靠近四个顶点），半径 表面积之和： 答案：

题目

（2021 烟台一模 16）已知正三棱锥 - 的底面边长为 ，侧棱长为 ，其内切球与两侧面 、 分别切于点 、，则 的长度为 。

参考解答

解析： 1. 基本量 底面正三角形边长 ，。设 为底面中心，则 锥高 。 侧面斜高：取 中点 ，则 是底面中心到 的距离：。 全表面积 。 体积 。 由等体积法 ，得内切球半径 2. 截面法求 的位置 考虑截面 --（过锥高 和 中点 ）。该截面 ，它将侧面 截为线段 。 在该截面中，内切球被截成一个圆：圆心 在 上，，圆的半径为 。 此圆与 （底面截线）相切于 ，与 （侧面 的截线）相切于 。 作 于 ，则 （均 ），于是 在 中，由面积： 相似比： 在 中，。 而 ，验证得 。 即 在 上，且 。 3. 同理求 取 中点 ，同理在截面 -- 中， 在 上且 4. 求 在 中，、 分别在 、 上，且 ，故 在底面正三角形中，、 分别为 、 中点，由中位线定理 因此 答案：

题目

把半径为 的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为 。

（结果用 表示）

参考解答

解析： 要使大球半径最小，四个小球应两两相切。此时四个小球的球心构成一个棱长为 的正四面体。 俯视图：从正上方向下看，底部三个小球球心 构成等边三角形，顶部小球球心 的投影落在该三角形的中心。 大球是这四个小球的外接球——即球心 恰好是正四面体 的外接球心（也是重心），大球经过四个小球的最远点。 设正四面体棱长为 ，其外接球半径（球心到顶点的距离）为 轴截面：取过大球球心 与两个小球球心 的平面作截面，可以看出大球半径 等于 答案：

题目

设有一个棱长为 的正四面体的包装盒，现有 4 个半径为 2 的球形玩具分两层放入包装盒（第一层 1 个球，第二层 3 个球），则 的最小值为 。

参考解答

解析： 要使正四面体的包装盒棱长 最小，需让 4 个半径为 2 的球两两外切且与正四面体面相切，此时 4 个球心正好构成一个棱长为 4 的小正四面体。 正四面体包装盒的高度为 而对于由四个小球球心组成的小正四面体的高为 考虑正四面体的内切球球心到顶点的距离。设正四面体 的棱长为 ，正四面体内切球的球心为 ，半径为 。 正四面体的每个面的面积为 。 正四面体的高 ，体积 。 连接 与正四面体的 4 个顶点可以得到 4 个正三棱锥，每个正三棱锥体积为 ，则 由 ，求得 所以正四面体的内切球球心到顶点的距离为 。 若 ，则正四面体的内切球球心到顶点的距离为 6。 所以 即 所以 。 答案： 点睛：将四个球的球心抽象为棱长为 4 的小正四面体，把球半径与小正四面体的高转化为包装盒的总高度，是解决本题的关键。

题目

已知一个圆锥的底面半径为 5，表面积为 。若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 。

参考解答

解析： 设圆锥的母线长为 ，则 解得 。 则圆锥的轴截面为边长为 10 的等边三角形。 截面图一（俯视图）： 沿圆锥内三个球的球心的截面如下图所示： 则 为边长为 的等边三角形。根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 为 的外心，所以 截面图二（轴截面）： 沿 所在轴截面如下图所示： 易知 ，所以 求解 ： 所以 解得 答案：

已知复数 $z1, z2, z3, z4|z1|^2 + |z2|^2 = |z_3|^2 + |z_4|^2 = 4z_1\overline{z_3} + z_2\overline{z_4} = 0|z_1z_4-z_2z_3|$ = 。