在 中，，，则 的面积为__。

参考解答

析：条件涉及 与 ，想到积化和差将 展开，再结合 的关系化简。随后用辅助角公式合并，结合正余弦的有界性确定取等条件，最后用余弦定理求边并计算面积。 解： **第一步：公式变形与角度化简** 利用积化和差公式 ，原式变为 在 中 ，故 ，代入得 使用辅助角公式，提取系数 ： 即 （其中 ，）。 **第二步：确定三角形特征** 由于 且 ，等式 成立必须满足 于是 （等腰三角形），且 。 进而 **第三步：计算边长与面积** 设 ，。由余弦定理 代入 得 故 。 【点评】本题的关键在于两步转化：其一，积化和差 将条件化为同角；其二，利用有界性反推角度关系（，）确定三角形的几何特征。辅助角公式是连接这两步的桥梁。 答案：

已知 ，求 周长的最大值。

参考解答

析 由条件化简得 ，利用正弦定理将边转化为三角函数。 解 由条件得： 两边同时加上 ，利用正弦定理 ，注意到 ，则 。 经化简可得： 故周长： 等号在 时取到。 【点评】 本题关键在于利用正弦定理将边长表示为三角函数，再利用辅助角公式求最值。注意周长要加上边 。

在 中，，点 是 中点，连接 ，过点 作 交 于点 。若 ，则 的值为 __。

参考解答

析：本题的关键是利用垂直条件找出角度之间的互余关系，再结合正弦定理建立方程。 设 ，。由 且 ，得 。 解：设 （锐角），（锐角）。 则 （互余关系）。 （三角形外角定理）。 不妨令 ，则 ，。 在 中： 由于 为 中点，。 在 中： 即 在 中，由正弦定理： 代入 得： 而 ，代入得： 整理得： 即 将 (2) 代入 (1) 得： 因为 为锐角，，故 答案： 【点评】本题的核心在于：① 通过互余关系传递角度；② 利用正弦定理在 中建立等式；③ 两式联立求解。关键技巧是设 简化运算。

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在直角三角形 中，，， 为斜边 上一点。若 与 的内切圆面积相等，则 。

参考解答

解 设 ，，、 分别在边 、 上，则 。 由 ，得 。 由 ，得 。 由内切圆面积相等，设两三角形内切圆半径均为 ，则： 由切割线定理及三角恒等式化简可得： 由是得： 由正弦定理： 故 【点评】 本题关键在于利用内切圆面积相等转化为半径相等，结合相似三角形和三角函数求值。

设锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，已知 。

(1) 求证：；

(2) 求 的取值范围。

参考解答

析 本题考查正弦定理的应用、三角恒等变换以及角度关系的推导。第 (1) 问利用正弦定理将边化为角，结合三角函数公式化简；第 (2) 问由第 (1) 问结论将表达式用 表示，再利用锐角三角形的角度范围求值域。 解 **(1) 证明：** 由 ，根据正弦定理 ，得： 利用三角函数公式化简： 因为 为锐角三角形， 所以 又 ，故 ，即： **(2) 解：** 由 (1) 知 ，由正弦定理得： 利用三角恒等变换化简： 确定 的范围： 由 得： 由 ，解得： 综合得：， 由于 在 上单调递增，故： 【点评】 本题的关键在于：1）利用正弦定理实现边角互化；2）利用三角函数公式 化简；3）注意锐角三角形的三个角都小于 ，需要综合考虑 的范围；4）将目标表达式配方后利用单调性求值域。易错点是遗漏 为锐角的条件，导致 的范围不准确。 答案： (1) 证明见解析；(2)

已知三个非零的平面向量 、、 满足以下条件：

求 的最小值。

参考解答

析 条件 表明向量 与 垂直。从几何角度看，若设 ，，，则 ，即 是以 为直角顶点的直角三角形。 解 取 的中点 ，由直角三角形斜边中线性质知 又由向量加法的平行四边形法则，，故 在 中，由三角形两边之和大于第三边，有 即 所以 设 ，则 。令 与 的夹角为 ，则 代入不等式得 设 ，求其最小值。令 ，则 当 时， 取最小值 ，即 。 因此 当 （即 ）且 、、 三点共线时，等号成立。 故 的最小值为 。 【点评】 本题巧妙地利用了几何意义将代数条件转化为直角三角形的性质，再结合三角形不等式和平行四边形法则建立关于 的不等式。关键在于认识到 表示以 为顶点的直角，从而可以运用斜边中线定理。最后通过三角函数求最值，体现了代数与几何的完美结合。

是三个单位向量，且 。求 的最小值。

参考解答

析 由 ，建立直角坐标系，将向量坐标化，利用三角不等式求最值。 解 取 ，，设 ，则 。 设 ，，则 ，。 由三角不等式 等号成立当且仅当 与 同向，即存在 使 。 由合比定理 得 。 联立 与 ，解得 ，（另一组解 ， 经验证不满足 ），此时 符合条件。 答案： 【点评】 本题的关键在于：1）建系将向量坐标化；2）将原式转化为 的形式；3）构造常向量 ，利用三角不等式放缩求最值。

已知平面向量 和实数 满足

$$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=2,\quad \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}=0$$ $$(\vec{a}-\lambda\vec{c})\cdot(\vec{b}+\lambda\vec{c})\geq 0$$

则 的取值范围是 。

参考解答

析 由 两边平方得： 代入 ： 解得： --- 解 设 ，由 且 ，得 。 此时： 由 ，可设 （其中 ）。 计算得： - - - 展开 ： 代入得： 即： 令 ，解得： 计算目标表达式： 因此： 所求表达式为： 当 时： - 当 时， - 当 时， 【点评】 本题的关键在于： 1. 利用已知条件求出 2. 合理建立坐标系简化计算 3. 通过换元 将不等式转化为关于 的范围 4. 最终将问题转化为求 的取值范围 答案：