题目

四棱锥 的底面 为平行四边形，过顶点 的平面 与棱 分别交于点 。若 为棱 的中点，则当四棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比最小时， ______。

参考解答

解析： **1. 设元** 设 因为底面 是平行四边形，对角线互相平分，易知 2. 利用四点共面推导约束关系 四棱锥 的体积可以按两种方式拆分为两个三棱锥之和： 两边同除以对应底面的三棱锥体积（ 和 ），得 由于 是 中点，。利用**共顶点三棱锥体积比等于底面积比**（等高等底），有 将上述四个式子代入等式，约去 得 化简即 解得 由 可得定义域： 3. 表示体积比 代入 得 4. 利用基本不等式求最小值 其中 （因 ），基本不等式 （，当且仅当 时取等）成立。 等号当 时取得，解得 ，即 因此体积比的最小值为 ，此时 。 答案：

题目

已知直四棱柱 的底面是边长为 的正方形，， 分别是棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 ，则过点 的平面截直四棱柱 所得截面的面积为（ ）

A.

B.

C.

D.

参考解答

解析： 设直线 分别交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，所得截面为五边形 。 由平行线分线段比例可知：，故 ， 为等腰直角三角形，所以 ，，则 ，。 连接 ，易知 ，五边形 可分成等边三角形 和等腰梯形 两部分： - 等腰梯形 的高 ，面积为 - 等边三角形 的面积为 因此五边形总面积为 。 答案：

题目

已知正方体 的棱长为 1，点 在上底面 内，满足 ，其中 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）

A． 平面

B．三棱锥 的体积为定值

C． 的轨迹长度为

D．当 时， 取最小值

参考解答

解析： 由 ，其中 ，且 ，可得 三点共线，即 在线段 上。 对于 A：连接 ，在正方体 中，可得 ，。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。同理可证： 平面 。又因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 。因为 平面 ，所以 平面 。**A 正确。** 对于 B：因为 在线段 上，且 平面 ，所以 。**B 错误。** 对于 C：因为 在线段 上，即点 的轨迹为线段 ，在直角 中，可得 。**C 正确。** 对于 D：当 时，可得 为线段 的中点，此时 ，，所以 。又因为 在线段 上，将等边 和矩形 展开在一个平面上，设点 展开后为点 ，连接 。在 中，，，。由余弦定理得 ，因为 ，可得 ，即 取最小值为 。**D 错误。** 答案：

题目

在三棱台 中，已知上、下底面面积分别为 、（）。作截面 ，若直线 与截面 间的距离等于这个棱台的高，则截面 的面积 。

参考解答

解析： 第一步：体积分割。 如图，截面 把三棱台 分成三个三棱锥： - 三棱锥 （以上底面为底） - 三棱锥 （以下底面为底） - 三棱锥 （以截面为底） 记它们的体积分别为 ，三棱台的体积为 ，棱台的高为 。 第二步：写出四个体积。 由棱台体积公式： 三棱锥 以上底面 （面积 ）为底，注意上底所在平面到下底面距离即为棱台的高 ，而顶点 到上底面的距离也恰为 ，故 > **注**：题面上、下底面面积分别为 （上）、（下），且 ，意味着这是"上大下小"的台体（仍然是棱台的一般情形）。 类似地，三棱锥 以下底 （面积 ）为底，顶点 到下底面距离也是 ： 三棱锥 以截面 （面积 ）为底，由题设条件，顶点 所在直线 到截面 的距离等于棱台的高 ，从而 到该截面的距离也是 （）： 第三步：由 解出 。 故 答案： > 题目来源：经典立体几何例题（三棱台截面面积）

题目

在长方体 中，若 ，，，且 ，试求长方体表面上从 到 的最短距离。

参考解答

解析： 第一步：将长方体表面展开。 要在长方体表面上求两点间的最短距离，自然的做法是把途经的两个相邻面"折直"成一个平面，使路径变为该平面上的一条线段。从 出发到对角顶点 ，根据所经过的两个相邻面不同，共有三种展开方式（如图）： - 方式 ①：经过面 的相邻面，把面 与面 展平为一个矩形，得 ； - 方式 ②：经过面 与面 展平，得 ； - 方式 ③：经过面 与面 （即沿对角面 折）展平，得 。 第二步：分别计算三种展开下的距离。 每种展开后 到 的距离都是直角三角形的斜边： 第三步：比较三式大小。 将三个根号下的式子展开： 故只需比较 三者的大小。由 ，有 从而 第四步：得出结论。 最短的是方式 ②，即从 出发，经过棱 （或对应位置的 ）到达 ，最短长度为 答案： > 题目来源：经典立体几何例题（长方体表面最短距离）

题目

如图，正方体 中， 分别为棱 、 的中点，过 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 ，则 在顶点 处的内角的余弦值为 。

参考解答

解析： 第一步：作辅助线确定截面形状。 设 与 的延长线交于点 ，与 的延长线交于点 。连 交 于点 ，连 交 于点 ，则截面 为五边形 。 第二步：用相似三角形求关键长度。 不妨设正方体棱长为 。由 都是中点，可得 。 在 中（ 在 上）： 因 ，故 。同理 。 第三步：识别平行四边形求 。 由 且 ，知四边形 为平行四边形，故 第四步：求 。 同理 。 第五步：余弦定理求 。 答案： > 题目来源：2022 年全国高中数学联赛 A2 卷一试第 6 题

题目

长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为 。

A.     B.     C.     D.

参考解答

解析： 由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 当最小时，分别为的三等分点， 因为，所以， 则在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 所以轨迹的长度为。
答案：

题目

已知正四棱台$ABCD-A{1}B{1}C{1}D{1}P, QAA{1}CC{1}P, Q\underline{\hspace{2em}}$。

A.     B.     C.     D.