题目

如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为.

(1) 证明面；
(2) 当平面时，面与交于，求$\dfrac{V{P-AQMD}}{V{P-ABCD}}$的值；

参考解答

解析： ### (1) 证明 ，平面，平面， 面， 面，面面， ， 面，面， 面。 ### (2) 求体积比 连接交于点，连接，作交于， 设， 平面，平面，平面平面， ， 在梯形中，， ， ， ， ，即， 可得： 故。 答案： (1) 证明见解析 (2)

题目

如图，正方体 的棱长为 4，， 分别是 ， 上的点，且 ，。

(1) 求直线 与 所成角的余弦值。

(2) 设 是线段 上的动点（含端点）。

（i）判断三棱锥 的体积是否为定值。若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值。

（ii）当 平面 时，求 的值。

参考解答

解析： ### (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值 过点 作 交 于 ，连接 。 由正方体 的对角面 是矩形，得 ，则 ，故 即为直线 与 所成的角或其补角。 由 ，，得 ，，，。 在 中，由余弦定理： 所以直线 与 所成角的余弦值为 。 ### (2) 设 是线段 上的动点 #### （i）判断三棱锥 的体积是否为定值 三棱锥 的体积**不是定值**。 **证明：** 假设体积是定值，则线段 上任意一点到平面 的距离都相等。又 平面 ，于是 平面 。 由 (1) 知 ，且 平面 ，则 平面 。 而 ， 平面 ，则平面 平面 。 取 中点 ，连接 。易知 为 的中点，则 。又 与平面 交于点 ，于是 与平面 相交，这与 平面 平面 矛盾。 故假设不成立，三棱锥 的体积不是定值。 **求最小值：** 由图知，线段 在平面 的同侧，且在线段 的所有点中， 到平面 的距离最小，则当 与 重合时，三棱锥 的体积最小。 此时 所以三棱锥 体积的最小值为 。 #### （ii）当 平面 时，求 连接 ，，。 由正方体 的对角面 是矩形，得 ，且 平面 ，则 平面 。 同理 平面 。 而 ， 平面 ，因此平面 平面 。 此时线段 平面 ，满足 平面 。 设 ， 到平面 的距离分别为 ，，则 。 是边长为 的等边三角形，则 由 ，得 解得 。 由 ，得 解得 。 所以 答案： (1) (2)（i）不是定值，最小值为 （ii）

题目

如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形，，，， 为 中点，求证：。

参考解答

> 注：图中红色辅助线 、 为解题添加。 分析 要证 ，自然的思路是证明 垂直于 所在的一个平面。那么， 在哪个平面中？如何构造这样的平面？ 注意到 是 中点，联想到中点可以构造中位线。取 中点 ，则 ，说明 、、、 四点共面。于是 在这个平面 中。 接下来只需证明 平面 ，即证 垂直于该平面内两条相交直线。平面 中有 和 两条现成的线： - ：由 得等腰三角形，三线合一； - ：先由 和 得 平面 ，从而 。 两条相交直线都垂直 ，则 平面 ，结论得证。
证明 取 中点 ，连结 、。 ， 为 中点， （等腰三角形三线合一）。 平面 ， 平面 ， 。 又 ，， 平面 ， 平面 。 平面 ， 。 在 中，、 分别为 、 中点， 。 ， 。 故 、、、 四点共面，记该平面为 ，则 。 ，，且 ，， 平面 。 ， 。
答案：已证明 。

题目

已知正三棱柱 的体积为 ，， 是 的中点，点 是线段 上的动点，过 且与 垂直的截面 与 交于点 ，则三棱锥 的体积的最小值为（ ）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

参考解答

解析： **步骤 1：求正三棱柱的侧棱长度** 正三棱柱底面是正三角形 ，底面积为： 由棱柱体积公式： 解得侧棱长度 。 **步骤 2：推导截面垂直关系** 取 中点 ，由正三棱柱的性质可得： ，，且 ， 因此 平面 ，故 。 过 作 ，垂足为 ，结合 、， 可证 平面 ，即平面 就是题目要求的截面 。 **步骤 3：割补法拆分体积** 将待求三棱锥体积拆分为两个棱锥的差： 首先计算固定体积 ：点 在 上，到底面 的距离恒等于侧棱长度 ，因此： 再计算 ：设 为点 到底面 的垂直高度，则： **步骤 4：求体积最小值** 由 ，可知点 的轨迹为**平面 内以 为直径的圆**。 是正三角形 的高： 因此圆的半径为 ，故 到底面的最大高度为圆的半径： 因此 的最大值为： 最终得 的最小值： 答案：，选项 **A**。

题目

故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示．已知三棱柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，，，则点到平面的距离是．

参考解答

解析： 取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点， 取中点，连接， 由已知，分别为中点， 因为是直三棱柱，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，， 所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为， ，在中，， 所以，设，则有， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为是直三棱柱，所以，且， 所以，， 又因为平面，平面，所以， 所以，即， 解得。

答案：

题目

在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 和棱 上的动点，记过点 ，， 的平面截正方体表面所得的图形为 ，则下列结论正确的有（　　）

A．

B．若 分别是所在棱的中点，则 平面

C．若 分别是所在棱的中点，则 为五边形

D．存在点 ，使得 平面

参考解答

解析： **A.** 在正方体中有 ，，又 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，故 A 对； **B.** 由中点得 ，又正方体中 ，即有 ，且 平面 ， 平面 ，故 平面 ，B 对； **C.** 延长 ，分别交直线 、 于 ，，连接 交 于 ，连接 ，交 于 ，可得截面为五边形 ，故 C 对；

**D.** 因为四边形 是矩形，非正方形，所以 与 不垂直，若存在点 ，使得 平面 ， 平面 ，则 ，矛盾，所以不存在点 ，使得 平面 ，故 D 错。 答案：

题目

正方体 棱长为 ，， 分别为棱 ，（含端点）上的动点，记过 ，， 三点的平面为 ，记 为点 到平面 的距离， 为点 到平面 的距离，则满足条件（ ）的 是不唯一的．

A．

B．

C．

D．