题目

球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学．从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形．如图，球 的半径为 ，，， 为球面上三点且不在同一个大圆上， 中，三内角 ，， 所对的边分别为 ，，．球面 中，，， 的弧长分别记为 ，，，线段 ，， 与球面 围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面 ．设 ，，，则下列结论正确的是（ ）

A．

B．若 ，则

C．若 ，则

D．若 ，则球面 的体积

参考解答

解析： A 选项： 由 ，，，，得 故 A 正确． B 选项： ，，， 由 得 ，故 B 正确． C 选项： 由 得 利用 ，得 取 ，，满足 ， 此时 ，，，故 C 错误． D 选项： ，，， 则平面 的面积为 ， 此时三棱锥 为边长为 的正四面体，取 的中点 ，连接 ， 过点 作 平面 ，交 于点 ， 其中 ，， 故 ， 所以 到平面 的距离 ， 三棱锥 的体积 则球面 的体积 ，故 D 正确． 答案：ABD

题目

求证：各面面积相等的四面体是等腰四面体．

参考解答

解析： 思路分析： 先证四面体中，取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等；再通过展开图得到角度关系；最后利用四个面面积相等，推导对棱相等，从而得证． （1）内切球与切点性质 如图所示， 为此四面体内切球球心，内切球半径为 ， 、 分别为切球与面 、 的切点． 则 ，且 平面 ， 平面 ． 所以 ，（从球外一点向球引的切线长相等）， ． 即取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等． （2）展开图与角度关系 把此四面体展开如图所示，作出其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线． 于是有： 由此四式，可得： （3）利用面积相等 由四个面的面积相等（三角形面积公式 ），得 以 ① 代入，得 由 ② 的前两式，得 由 ② 的后两式，得 比较 ③、④，得 ，，，， 同理可得 ，于是 ． 于是可得 ，，， 即四面体 是等腰四面体． 答案：证明见解析．

题目

正四棱锥 的底面正方形边长是 ， 是 在底面上的射影，， 是 上的一点，，过 且与 、 都平行的截面为五边形 ．

(1) 在图中作出截面 （写出作图过程）；

(2) 求该截面面积．

参考解答

解析： ### (1) 作图过程 过 作 ，交 于点 ，交 于点 ； 过 作 ，交 于点 ； 过点 作 ，交 于点 ； 过点 作 ，交 于点 ； 连接 、、，则五边形 即为所求截面． **作图依据：** 由于 ，，，故 ， 所以 五点共面，且 在该平面内． 又 ， 平面 ，故 平面 ； 同理 平面 ． 因此截面 满足过点 且与 、 都平行． ### (2) 截面面积计算 **① 基本几何关系** 为正四棱锥，底面 是边长为 的正方形， 为底面中心． 底面正方形对角线： 到顶点的距离： 侧棱长： **② 关键线段长度** 由 得： 作图知 ，（正方形对角线互相垂直），故 ， 即 于点 ． ，，， 故 为等腰直角三角形，直角顶点为 ，斜边为 ， 为斜边中点． **③ 截面各边长度** ， 在 上．由 为等腰直角三角形且 ， 结合 得 为 中点（），故： ，同理得 ． ， 在 上， 在 上： 且 （由对称性），故 ． **④ 截面形状与面积** （ 底面 ，又 ， 平面 ），且 ，， ，即 ，截面中四边形 为直角梯形． 同理四边形 也为直角梯形，且 （， 公用）， 故两直角梯形全等． 每个直角梯形的面积为： 截面 由两个全等的直角梯形组成： 答案： - (1) 作图过程见上述作法． - (2) 截面面积为 ．

题目

圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是．

参考解答

解析： 如图，设为中点，连接，作平面，连接， 又平面，则， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，所以垂足必在上，由题意可知，则， 由于为等腰三角形， 所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处， 作，垂足为， 则 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为。 答案：

题目

如图，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，且．

(1) 证明：平面；

(2) 证明：平面平面；

(3) 若，求平面与平面的夹角的正弦值．

参考解答

解析： **(1)** 记的交点为，、的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． --- **(2)** 由(1)可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为，的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面． --- **(3)** 由(2)知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以． 答案：

题目

已知正方体$ABCD-A{1}B{1}C{1}D{1}PABCDD{1}PABCD\frac{\pi}{3}EA{1}ADD{1}HB{1}D(HP+HE)^2\underline{\quad\quad}$．

参考解答

解析： 如图，在正方体中，平面，直线与平面所成的角为（是在底面的射影）， 在中，，则，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（在平面内）． 将平面沿着翻折至平面，使其与平面共面，翻折后与的对应点为与（如图所示）． 由几何性质可知（当且仅当在与的交点时取等号）． 在中，，， 则， 由余弦定理， 所以的最小值为． 答案：