题目

过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 __.

参考解答

解析： 设正四面体 的棱长为 。过点 作 平面 ，垂足为 （即 的中心），取 的中点 ，则 、、 三点共线。以 为原点，平行于 的直线为 轴、 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立空间直角坐标系。 由正四面体性质，，从而 又 平面 ， 平面 ，所以 ，于是 因此四个顶点坐标为 设过棱 的截面与 交于点 ，则可设 记三棱锥 的外接球半径为 、球心为 ；三棱锥 的外接球半径为 、球心为 。由「球心到四个顶点距离相等」得 分别解出（ 对应含 的锥， 对应含 的锥） 于是 当 时，；当 时，分子分母同除以 得 由于 在 与 上均单调递减，且 在 时趋于 、在 时趋于 ，故当 时 ，当 时 。于是 从而 综上 ，开方得 答案：

题目

在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为底面 内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（　　）

A. 若 平面 ，则动点 的轨迹长度为

B. 不存在动点 ，使 平面

C. 若 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为

D. 若正方体 的外接球为球 ，则球 被平面 所截截面圆的面积为

参考解答

解析： 以 为原点，射线 、、 分别为 、、 轴正方向建立空间直角坐标系，则 A．取 的中点 、 的中点 ，则 、。因为 所以 ，，从而平面 平面 。 点 的轨迹是过 且平行于平面 的平面与底面 的交线段。由 的对应关系知该交线段即为线段 ，其长度为 故 A 正确。 B．平面 的一个法向量为 取 。设 （，），则 若 平面 ，则 ，于是 解得 ，均在 之外，矛盾。故不存在这样的点 ，B 正确。 C．因为 所以 平面 的方程为 ，点 到该平面的距离为 当 与 重合时 最大，最大值 ，此时 故 C 正确。 D．正方体外接球的球心为 ，半径 。球心到平面 的距离为 故截面圆半径 截面圆面积为 故 D 错误。 答案：

题目

1. 球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学。对于半径为 的球 ，过球面上一点 作两条大圆的弧 、，它们构成的图形叫做球面角，记作 （或 ），其值为二面角 的大小，其中点 称为球面角的顶点，大圆弧 、 称为球面角的边。不在同一大圆上的三点 、、，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 、、，这三条劣弧组成的图形称为球面 ，这三条劣弧称为球面 的边，、、 三点称为球面 的顶点；三个球面角 、、 称为球面 的三个内角。已知球心为 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 、、。类比二面角，我们称从点 出发的三条射线 、、 组成的图形为三面角，记为 。其中点 称为三面角的顶点，、、 称为它的棱，、、 称为它的面角。以下说法，正确的是（　　）

A. 任意球面三角形的内角和为

B. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的三个内角的余弦值有一个是

C. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的面积为

D. 若三面角 的三个面角的余弦值分别为 、、，则球面 的面积为

参考解答

解析： 引理：若单位球面上球面 的三个球面角 ，记其面积为 ，则 引理的证明：记球 的表面积为 ，则 。设 、、 的对径点分别为 、、。 所在的大圆与 所在的大圆把球面分成四个部分，其中面积较小的两部分（夹角为 的两个球面二角形）的面积之和 等于球表面积 的 倍，即 。同理可定义 ，且 ，。 而三个大圆（、、 所在的大圆）把球面分成 8 个球面三角形——除 与 外的六个三角形与 的覆盖关系给出 故 引理得证。 对于 A：因为 ，所以 ，即 ，不是一个固定值，A 错误。 对于 B：由已知条件，可设 ，，。以 为原点建系，不妨设 ，，设 。 由 可知 ，，解得 ；又 得 ，不妨设 ，则 ，所以 。 设平面 、、 的法向量分别为 。由 可取 ；同理 ，。 于是三个内角的余弦值分别为 即 ，其中没有 ，故 B 错误。 对于 C、D：由 B 选项可知 ，，，再由引理可知球面 的面积 故 C 错误、D 正确。 答案：

题目

棱长为 的正方体 中，、、 分别为棱 、、 的中点， 为平面 上的动点，若 、 交于 ，将正方形 的四个顶点绕着 在上底面逆时针旋转 得到一个十面体 （如图），则下列结论正确的是（　　）

A. 十面体的外接球表面积为

B.

C. 若 与 的夹角为 ，则 点的轨迹为圆

D. 十面体的体积为