题目

如图，，，点 、 在平面 的同侧，，，，平面 平面 ，。

（1）求证： 平面 ；

（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长。

参考解答

解析： （1）因为 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 因为 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 又 平面 ， 平面 ，，所以平面 平面 。 因为 平面 ，所以 平面 。 （2）取 的中点 。因为 ，所以 。 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 又 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系 。 在四边形 中，因为 ，，，，所以 ，所以 。 因为 ，所以在 中，。 所以 、、、、、，于是 。 又 、。 设 ，，则 。 设 为平面 的法向量，则 取 ，得 、，故 。 因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，而 是平面 的法向量，所以 两边同时平方，得 ，解得 或 （舍去），所以 。 所以 。 答案：（1）证明见解析；（2）

题目

在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面的方程为 ，此方程称为平面的点法式方程；整理变形可得 ，此方程称为平面的一般式方程。

已知集合 ，，。

（1）指出集合 和 表示的图形；

（2）求过三点 、、 的平面的点法式方程和一般式方程；

（3）设 中所有点构成的几何体为 ，求 中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值。

参考解答

解析： （1）集合 由空间中横坐标 的一切点组成，即 平面。 集合 中，，即空间中与原点 距离恒为 的点的全体，故 表示球心在原点、半径为 的球面。 （2），。 设平面的一个法向量为 ，则 取 ，得 ，即一个法向量为 。 由点法式方程得 整理得一般式方程 。 （3）当 时， 由 确定，其边界是平面 上的三角形 。 一般地，把 、、 中的若干个换成它们的相反数， 的形式不变（这相当于关于坐标平面作对称），于是 的边界由 个三角形组成，它们分别在平面 上。故 是以 、、、、、 这六个点为顶点的正八面体。 取有公共棱 的相邻两个面：面 （其法向量即（2）中的 ）与面 。 对平面 ，，。设其一个法向量为 ，则 取 ，得 、，即 。 因为两个平面的夹角规定在 内，所以取其法向量夹角余弦的绝对值： 答案：（1） 是 平面， 是球心在原点、半径为 的球面；（2）点法式 ，一般式 ；（3）

题目

如图，四边形 由 Rt 和 Rt 拼接而成，其中 ，，，。将 沿 折起。

（1）若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值；

（2）当四面体 的表面积最大时，求二面角 的余弦值。

参考解答

解析： 由 、、 得 ；由 、、 得 （1）取 中点 。因为 ，所以中线 也是高，，且 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。折起时 绕 转动，故 始终在过 且垂直于 的平面内。 由 得 。把 沿 、 分解：，于是 设异面直线 与 所成角为 ，则 ，而 ，故 。 在 中 ，，由余弦定理 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。 （2）以 为原点： 轴沿 方向， 轴在平面 内且垂直于 、指向 一侧， 轴垂直于平面 ，则 其中 正是二面角 的平面角，。 四面体中 与 的面积是定值，分别为 与 ，所以表面积最大等价于 与 的面积之和最大，记这两个面积分别为 、。 由 、、、，用 得 记 ，把根号内配方： 令 ，，对 用加权柯西不等式（把 写成 ）： 再由配方，，于是 两处等号可以同时取到：当 时 、，恰满足加权柯西的取等条件 。 所以当 时四面体表面积最大（最大值为 ），故二面角 的余弦值为 。 答案：（1）；（2）

题目

若一个几何系统中任意两点间的距离的最大值称为这个几何系统的”径区”，例如圆的径区即为其直径。则：

（1）设 是直角边长为 1 的等腰直角三角形，其中 。分别以 、、 为直径的三个圆构成一个几何系统，该系统的径区为 ；

（2）棱长为 2 的正方体 的棱切球（与该正方体所有棱都相切的球）与三角形 的外接圆构成一个几何系统，该系统的径区为 ；

（3）棱长为 2 的正方体 中，正方形 的内切圆与正方形 的内切圆构成一个几何系统，该系统的径区为 。

参考解答

解析： （1）三个圆的半径分别为 、、，圆心分别是 、、 的中点 、、。 先看两点分别在不同圆上的情形。设两圆圆心为 、，半径分别为 、，则对圆上任意两点 、 有 ，当 、、、 依次共线时取到等号。由中位线定理，，，。于是 - 圆 与圆 上各取一点：； - 圆 与圆 上各取一点：； - 圆 与圆 上各取一点：。 两点在同一个圆上时，最大距离即该圆直径，三个圆直径分别为 、、，都不超过 。 所以该系统径区为 。 （2）棱切球的球心 即为正方体的中心。棱长为 2，中心到各棱的距离为 ，故棱切球半径 。 三角形 的三条边长都等于面对角线 ，所以它是正三角形，外接圆半径 ，外心 即该正三角形的中心。 以正方体中心为原点建立坐标系（各坐标轴与棱平行），可取 、、，于是 ，。 设 为外接圆上任意一点，则 ，即球心 到圆周上任意一点的距离恒为 。 两点分别取在球上与圆上时，，当 、、 三点共线且 在 、 之间时取到等号；两点取在同一个几何对象上时，球面上两点最大距离为球直径 ，圆周上两点最大距离为圆直径 。 而 ，所以该系统径区为 。 （3）以 为原点，、、 所在直线分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 正方形 的内切圆在 平面内，圆心为 ，半径 1；正方形 的内切圆在 平面内，圆心为 ，半径 1。 设 在第一个圆上， 在第二个圆上（、 为任意实数），则 注意 （辅助角公式），故 即 。等号成立当且仅当两处放缩同时取等：由 得 （此时 ），再得 ，即 。直接验证：此时 是 的中点， 是 的中点，。 两点在同一个圆上时，最大距离即该圆直径 ，小于 。 所以该系统径区为 。 答案：（1）；（2）；（3）