题目

四面体 中，体积 、底面 的面积 与棱长 满足 ，求 的最小值。

参考解答

解析： 第一步：由体积定出高。设点 到平面 的距离为 ，由体积公式 设 在平面 内的射影为 ，则 且 平面 。由勾股定理 第二步：平面上到三个顶点距离平方和最小在重心处取得。设 为 的重心，则 。对平面内任意点 ， 所以 ，等号当且仅当 。 再由 出发（原点取在重心 ），把三向量两两之差的平方和展开、交叉项相消，即得恒等式 于是 第三步：由面积定出点 的位置。点 到直线 的距离为 取直角坐标系使 、、，则 等号当 时取得。 第四步：合并。 等号成立的条件：点 在 的中垂线上且到 的距离为 ；点 为 的重心；点 在 的正上方且 。 答案：

题目

在如图 1 所示平面四边形 中，，，，。将 沿 翻折至 （图 2），其中 为动点，连接 ，令 ，。点 分别为 的中点，点 在 上且满足 ， 与 交于 ， 与 交于 ，连接 。

（1）证明： 平面 ；

（2）当平面 平面 时，求 的值；

（3）求二面角 的余弦值的最小值。

参考解答

解析： 由 知 中 为直角顶点，于是 在 中 ，由余弦定理 翻折是绕 的旋转，保持 处两边的夹角，故 始终成立。 （1）记 ，，，则 由 为 中点，。设 ，则 。由 得 于是 ，即 是 的中点。 现在 、 是 的两条中线，故 为 的重心，；同理 、 是 的两条中线， 为 的重心，。 在 中，，由平行线分线段成比例定理得 。 又 在 上、 在 上，故 平面 。而 是 的重心，若 在平面 内，则由 得 也在平面 内，与 平面 矛盾，故 不在平面 内。所以 （2）先证每一条 的位置下都有 ： 又 ，，且 。记 ，则 引理：若平面 平面 ，直线 ， 且 ，则 或 。 证明：设 。以 为 轴、在 内取 轴垂直于 ，建立空间直角坐标系，则 是 平面；由 知 是 平面。设 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，由 得 ，即 或 ：前者说明 ，后者说明 。证毕。 由 平面 ， 平面 ， 及平面 平面 ，用引理分两种情况： 情况一： 平面 ，则 ，即 此时 ，得 。 情况二： 平面 ，则 ，即 此时 ，得 ，舍去。 反过来，当 时 且 ，故 平面 ，从而平面 平面 ，符合题意。所以 （3）以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 设 且 。由 、 得 两式相减得 ，代回得 。 图 3 又 ，把 代入得 由 得 。 平面 就是坐标平面 ，取法向量 。由 是 的中点得 ，于是 设平面 的法向量为 ，由 与 可取其一个法向量为 设二面角 的平面角为 ，则 令 ，则 ，且 因为 ，函数 在 上单调递减，故 在该区间上单调递减，于是 的最小值为 所以 此时 ，即 ，代回 得 ，属于已知范围。 答案：（1）证明见上；（2）；（3）

题目

在正三棱锥 中， 为 的中点， 为 的靠近 点的三等分点，且 。设 ，则三棱锥 的体积为 。

题目

如图所示， 为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点 、 分别在棱 、 上，满足 ，（ 为实数）．若平面 截 所得截面是一个五边形，则 的取值范围是 ．

参考解答

解析： 设平面 与直线 的交点为 ．由于所截得的截面是五边形，可知 在线段 的延长线上（不在线段 上）．沿"面面平行 → 线线平行 → 平行四边形 → 向量运算"的思路即可求出 的范围． 1. 四边形 AFGE 是平行四边形 在平行六面体中，平面 平面 ．因为 平面 ，所以 平面 ；又 平面 ，且平面 平面 ，故 同理可得 ，所以四边形 为平行四边形． 2. 用向量的线性运算求 CG 设 ，，，则 ，．由平行四边形 得 又 ，于是 3. 由 G 的位置确定范围 点 在线段 的延长线上，故 ，即 另一方面，点 在棱 上，故 ．又当 时 与 重合，此时 也与 重合，截面退化为四边形 ，不合题意，所以 ．综上 说明（为什么必须是五边形）：平面 与侧面 的交线是过 且平行于 的直线．当 时，该直线在侧面内恰好止于线段 上的点 （ 落在线段 上），此时截面就是四边形 ；当 时， 跑到 之外，这条交线在到达 之前先从棱 上的点 穿出，随后在顶面内沿 前行（ 在棱 上），再沿 回到棱 上的点 ．此时截面恰为五边形 ，符合题意． 答案：