题目

如图， 是棱长为 的正方体，任作平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为 ，周长为 ，则 与 的取值范围分别是 （用集合表示）

参考解答

分析： 由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长为定值。 详解： （1）证明截面边与面对角线平行 连接 ，，，： ， 平面 ，又 平面 ， 同理可证 因此 平面 。 设平面 与平面 的交线为 ， 则 ，又 ， 。 同理可得：平面 与正方体其余各面的交线，都与对应面的对角线平行。 （2）周长恒为定值 设 ，则 ，因此 ， 。 同理可得六边形其余两组相邻边的和也为 ， 六边形的周长为定值 。 由于截面与各面的交线都平行于对应面的对角线，因此无论六边形如何变化，其每个内角均为 ，且任意一组相邻边长的和为 。 （3）面积范围 可通过构造边长为 、一个内角为 的菱形推导截面面积： 六边形 的面积 = 大菱形面积 − 上下两个小等边三角形的面积，其中 ，下方小等边三角形边长 ，因此： 由 ，可得： 答案： 面积 的取值范围： 周长 的取值范围： 点睛： 本题考查正方体内截面几何图形的面积和周长，意在考查空间想象能力和计算能力。本题的关键是做出与 垂直的平面，可知交线与所在平面的对角线平行，由此利用相似可证明周长为定值；无论截面如何变化，截面六边形的内角都是 ，求截面面积最值时可利用对称性和二次函数求范围。

题目

如图，二面角 的大小为 ，， 分别在平面 ， 内，，，，，，则 （ ）

A.

B.

C.

D.

题目

在边长为 的菱形 中，，将菱形 沿对角线 折成空间四边形 ，使得 。设 ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）

A.

B. 直线 与 所成角的余弦值为

C. 直线 与 的距离为

D. 四面体 的外接球的表面积为

参考解答

解析： 设菱形 中 与 交于点 ，取 中点 ，连接 、。 折叠前： 为等边三角形，，。 折叠后：，，则 。 由菱形性质，、，折叠后 、，故 平面 ，从而 。 对 A 项验证： 、、 分别为 、、 的中点，则 且 ， 且 。 因为 ，所以 ，在 Rt 中： 故 A 项正确 ✅ 对 B 项验证： 因为 ，所以直线 与 所成角即为 。 在 Rt 中： 选项 B 给出 ，故 B 项错误 ❌ 对 C 项验证： 因为 ， 平面 ，所以 平面 。 设 与 交于点 。由于 为等边三角形， 为中线；又 为 的中位线，故 为 中点。 作 于点 ， 于点 ，则 且 ，。 因为 平面 ，，所以 平面 ， 平面 ，故 。 于是 平面 ，即 为 到平面 的距离。 在等腰 中，，， 为 中点，则： 从而 。 即直线 与平面 的距离为 ，又 平面 ，故直线 与 的距离为 ，C 项正确 ✅ 对 D 项验证： ，，则 、 均为直角三角形。 取 中点 ，由直角三角形性质得： 故 为四面体 的外接球球心，外接球半径 ，表面积： 选项 D 给出 ，故 D 项错误 ❌ 答案：

题目

四面体 中，，，，求异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围 。

参考解答

解析： 通过中点构造中位线，将异面直线夹角转化为平面角，结合余弦定理、线段长度范围求解。 第一步：取中点构造辅助线 取 、 分别为 、 的中点。 在 中，由余弦定理： 在 中，，，代入余弦定理： 由 （， 公共，）可得 。 第二步：推导 的取值范围 在等腰 中， 是底边 上的中线，因此 ，当 退化为同一点时取等（四面体退化边界）。 过 作 于 ，设 ，由 得： 代入数值： 解得 ，从而 ，当 四点共面时取等（四面体退化边界）。 因此 。 第三步：构造异面直线夹角 取 中点 ，则 ，，故异面直线 与 所成的角即为 或其补角。 易得 ，，由余弦定理： 第四步：代入范围求值 由 ，平方得 ，代入上式： 当 （即 ）时： 当 （即 ）时： 因此 。 由于异面直线所成角的范围是 ，余弦值非负，舍去负值，得到最终结果。 答案：

题目

已知集合 $R^n=\left{(x1,x_2,\dots,x_n)\big|x_i\in R,i=1,2,\dots,n\right}\ (n\geq1)R^nA(a_1,a_2,\dots,a_n)B(b_1,b_2,\dots,b_n)\displaystyle d(A,B)=\sum{i=1}^n |a_i-b_i|$.

(1) 当 时，以下命题正确的有 （不需证明）：

① 若 ，，则 ；

② 在 中，若 ，则 ；

③ 在 中，若 ，则 ；

(2) 当 时，证明 中任意三点 满足关系 ；

(3) 当 时，设 ，，，其中 ，. 求满足要求的 点的个数 ，并证明从这 个点中任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 .