题目

已知正三棱柱 的底面边长为 ， 为 中点。

(1) 若 ，证明： 平面 ；

(2) 若 与 交于点 ， 与 交于点 ，直线 与平面 夹角的余弦值为 ，求三棱柱 的体积．

参考解答

解析： (1) 连接 、，且 ，连接 ． 因为在正三棱柱 中，底面边长为 ，，所以侧面都是边长为 的正方形． 在正方形 中，． 又因为 ， 为 中点，所以 为等腰三角形， 是底边 的中线，所以 ． 又因为 面 ， 面 ，且 ，所以 面 ． (2) 法一：几何法 连接 ，由 可得 ． 记 与平面 所成角为 ．由于 平面 ， 是 在平面 上的投影，则 ． 根据线面角的定义，． 在 Rt 中，由 且 ，得 ． 由勾股定理：． 所以 ． 答案：

题目

统计是研究数据的学问．一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度．已知 个数 $x1,x_2,\cdots,x{10}57$ 的是（　　）

A．标准差为 　　　　B．众数为 　　　　C．极差为 　　　　D．方差为

参考解答

解析： 对于 A： 若标准差为 ，则 个数 的平均数为 ，这 个数都是 ，此时这组数据的中位数为 ，不超过 ，故 A 正确． 对于 B： 设这 个数依次为 则它们的平均数为 满足题意．此时这组数据的中位数为 ，超过 ，故 B 错误． 对于 C： 若极差为 ，则可设这 个数的最小值为 ，最大值为 ，这 个数为 其中 ． 已知平均数为 ，则 即 ． 因为 ，，所以 于是 即 ，亦即 ． 此时这组数据的中位数为 ， 故 由 得 ，因此 即中位数不超过 ，C 正确． 对于 D： 设 已经从小到大排列，即 ． 用反证法．假设这组数据的中位数超过 ，即 ，则 ． 又 ，所以 ，即 ，于是 所以 从而 同理， 又 ，故 综上所述， 所以方差为 与方差为 矛盾．故中位数不超过 ，D 正确． 综上，选 ． 答案：

题目

对于没有重复数据的样本

$$x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_m$$

记这 个数的第 百分位数为 ，其中 且 为整数．若在区间

$$(P_{60},\;P_{80})$$

中的样本数据有且只有 个，则 的所有可能值的和为 ．

参考解答

解析： 不妨设 ，用 表示不超过 的最大整数． 由百分位数定义：对 ，记 ， - 若 不是整数，则 ； - 若 是整数，则 ． 本题中 ，故 ，．分情况讨论： 情况一： 与 均为整数 此时 是 的倍数，且 由于数据严格递增，区间 内的数据为 个数为 ．由 得 ． 经检验， 符合题意． 情况二： 与 均不为整数 此时 不是 的倍数，且 区间 内的数据为 个数为 ．由题意 由取整不等式 得 即 解得 ，故 的可能取值为 其中 时 均为整数，属于情况一且不满足条件，排除． 其余逐个检验（计算区间内数据个数）： | | | | 区间内数据 | 个数 | 是否满足 | |:---:|:--------:|:--------:|:----------:|:----:|:--------:| | 66 | 39 | 52 | | 12 | ❌ | | 67 | 40 | 53 | | 12 | ❌ | | 68 | 40 | 54 | | **13** | ✅ | | 69 | 41 | 55 | | **13** | ✅ | | 71 | 42 | 56 | | **13** | ✅ | | 72 | 43 | 57 | | **13** | ✅ | | 73 | 43 | 58 | | 14 | ❌ | | 74 | 44 | 59 | | 14 | ❌ | 故情况二中满足题意的 值为 ． 综上， 的所有可能取值为 ，它们的和为 答案：

题目

已知样本数据 的各项均不为 ，设这组样本数据的方差为 （），样本数据 的方差为 ．设甲：，乙： 全为正数，或 全为负数．则甲是乙的（　　）

A. 充分必要条件　　　　B. 充分不必要条件　　　　C. 必要不充分条件　　　　D. 既不充分也不必要条件

参考解答

解析： 设 的平均数为 ， 的平均数为 ，即 由方差公式： 充分性（甲 乙）： 若 ，则 ，又 ，故 ． 由绝对值不等式： 等号成立当且仅当 全为正数或全为负数． 已知 ，即不等式取等号，因此 全为正数或全为负数，充分性成立． 必要性（乙 甲）： - 若 全为正数，则 ，显然 ． - 若 全为负数，则 ，且 的平均数为 ，故 必要性成立． 综上，甲是乙的充分必要条件，故选 ． 答案：

题目

有一组样本数据 ，其平均数为 ，方差为 ，中位数为 ．在这组数中，去掉一个最大的数 和一个最小的数 ，余下 个数据的中位数为 ，方差为 ，极差为 ．则（　　）

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

参考解答

解析： 设 个样本数据从小到大排列为 ，则 ． 对于 A： 原数据的中位数为 ，去掉 后，余下 个数据的中位数仍为中间两个数的平均值 ，故 ，A 正确． 对于 B： 原数据的极差为 ．去掉 和 后，新数据的极差 ．由于 ，当且仅当数据中存在重复的 或 （即 或 ）时，；否则 ．因此 不一定小于 ，B 错误． 对于 C： 原数据的平均数为 ，故 去掉 后， 所以新数据的平均数仍为 ． 由方差公式： 即 于是 由 得 ， 即 ，C 正确． 对于 D： 由 得 因为 ，所以 ，D 正确． 综上所述，正确选项为 ． 答案：

题目

已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为 和 ．记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则

$$s^2=\frac{1}{n}\big[n_1(s_1^2+(\bar x_1-\bar x)^2)+n_2(s_2^2+(\bar x_2-\bar x)^2)\big].$$

该公式可以用来解决样本数据的最值问题．已知 个样本数据的均值为 ，方差为 ，则这 个样本数据的中位数的最大值为 ．

参考解答

解析： 设这 个样本数据从小到大排列为 ． 记前 个数据 的均值为 ，方差为 ； 后 个数据 的均值为 ，方差为 ． 由题意，总的样本均值为 ，故 由题设的分层随机抽样方差公式，有 其中等号当且仅当 （即两组内各自取值相等）时成立． 已知 ，代入得 即 将 代入上式： 故 代入 得 由于 （中位数） 且这 个数的均值为 ，所以中位数 ． 当 且 时，即 时，中位数取得最大值 ． 答案：

题目

四面体的内切球与三个界面的切点分别是它们的内心、垂心和重心，证明：该四面体是正四面体．

参考解答

证明： 如图，设 是内切球球心， 是 的内心， 是 的垂心， 是 的重心．、、 是内切球与相应界面的切点． 设 的内切圆 分别切边 、、 于点 、、，则 （内切圆半径相等）． 因此 （ 为公共直角边）， 得 ，记为 ． 由 及三垂线定理知 ， 即面 与面 的夹角为 ． 由于 是内切球球心，故面 是二面角 的平分面， 所以二面角 的大小为 ． 同理，二面角 、 的大小均为 ． 因此点 在面 内的射影为 的内心， 即 面 ，、、 三点共线． 因为 且 ，所以 面 ． 同理 面 ． 过点 分别向 和 引垂线 和 ，、 为垂足． 因为 ，，所以 面 ， 即 ，且 、、 共线． 同理可得 、、 三点共线． 于是 同时是 的中线和高，因此 ， 进而 ，因此 ，于是 、、 三点共线． 注意到 为 的垂心，故 ； 又 面 ，由三垂线定理可得 ， 又 ，所以 面 ． 由于 面 ，因此 、、 共线． 考察 ， 和 分别是它的高， 是角平分线， 所以 ，由此得 这说明 既是 的内心，又是它的重心， 因此 是正三角形．进而三棱锥 为正三棱锥， 故点 在 内的射影 为 的垂心； 这说明 既是 的垂心，也是 的重心， 因此 也是正三角形． 由上可知，此四面体为正四面体．